Величайшие математические задачи

Пять из семи задач тысячелетия, включая и три задачи, о которых мы уже говорили, относятся к чистой математике, хотя задача P/NP фундаментальна и для теории вычислительных систем. Оставшиеся две принадлежат к прикладной математике и современной математической физике. Задача из прикладной математики возникает из стандартного уравнения для потока жидкости — уравнения Навье — Стокса, названного в честь французского инженера и физика Клода-Луи Навье и ирландского математика и физика Джорджа Стокса. Уравнение Навье — Стокса — это уравнение в частных производных; следовательно, в нем учитывается скорость изменения характера потока как в пространстве, так и во времени. Большинство важнейших уравнений классической прикладной математики — это уравнения в частных производных (нам уже встречалось одно из таких уравнений — уравнение Лапласа); остальные — обыкновенные дифференциальные уравнения, учитывающие скорость изменения параметров только во времени.

В главе 8 мы видели, что движение тел в Солнечной системе определяется законом всемирного тяготения и законами динамики Ньютона. Эти законы связывают ускорение Солнца, Луны и планет с действующими на них гравитационными силами. Ускорение — это быстрота изменения скорости во времени, а скорость — характеристика изменения положения тела во времени. Это обычное дифференциальное уравнение. Как мы видели, решение таких уравнений может быть очень сложным делом. Как правило, решать дифференциальные уравнения в частных производных намного сложнее.

Если говорить о практических целях, то уравнения движения в Солнечной системе могут быть решены численно при помощи компьютеров. Это тоже непросто, но сегодня уже существуют хорошие методы. То же самое можно сказать и о решении в практических целях уравнений Навье — Стокса. Используемые при этом методики известны как вычислительная гидрогазодинамика и применяются для решения многих важных задач: конструирования самолетов, расчета аэродинамики автомобилей и даже в медицине (например, для расчета тока крови в организме человека).

Задача тысячелетия не просит математиков найти явные решения уравнения Навье — Стокса, поскольку это, по существу, невозможно. Не имеет она отношения и к численным методам решения этих уравнений, несмотря на всю их важность. Вместо этого в задаче требуется найти доказательство фундаментального теоретического свойства: существования решений. При заданном состоянии жидкости в определенный момент времени — при известных характеристиках ее движения — существует ли решение уравнения Навье — Стокса, верное для всего будущего времени начиная с рассматриваемого момента? Интуиция подсказывает, что ответ на этот вопрос должен быть «да», потому что данное уравнение — очень точная модель физики реальной жидкости. Однако с точки зрения математики вопрос существования решения не так очевиден, и это фундаментальное свойство для уравнения Навье — Стокса пока не доказано. А возможно, ответ все же «нет», и решения не существует.

Уравнение Навье — Стокса описывает, как меняется со временем в заданных условиях распределение скоростей в жидкости. О нем часто говорят во множественном числе как об уравнениях Навье — Стокса, но дела это не меняет. Множественное число отражает классический подход: в трехмерном пространстве скорость складывается из трех компонент; в классической теории на каждую компоненту приходится по одному уравнению, а всего их получается три. С современной точки зрения существует всего одно уравнение для вектора скорости (величины, которую характеризует не только размер, но и направление), но это уравнение приложимо к каждой из трех компонент скорости. На сайте Института Клэя используется классическая терминология, но здесь я буду следовать современной практике. Я говорю об этом заранее, чтобы избежать возможной путаницы.

Уравнение датируется 1822 г., когда Навье впервые записал уравнение в частных производных для потока вязкой — липкой — жидкости. Стокс внес свой вклад в 1842 и 1843 гг. Эйлер записал уравнение в частных производных для жидкости с нулевой вязкостью — совершенно не липкой — в 1757 г. Это уравнение тоже полезно, но большинство реальных жидкостей, включая воду и воздух, являются вязкими, поэтому Навье и Стокс модифицировали уравнение Эйлера таким образом, чтобы учесть это свойство. Они вывели примерно одинаковые уравнения независимо друг от друга, поэтому оно названо в честь их обоих. Навье сделал в процессе вывода несколько математических ошибок, но получил верный ответ, а у Стокса с математикой все было в порядке, и именно поэтому мы знаем, что ответ Навье верен, несмотря на ошибку. В самой общей форме уравнение применимо к сжимаемым жидкостям, таким как воздух. Однако существует и важный частный случай, при котором жидкость считается несжимаемой. Эта модель применима к таким жидкостям, как вода, которая под очень большим давлением все же сжимается, но лишь чуть-чуть.