Величайшие математические задачи

Математики очень не любят, когда информация о задаче, которой они располагают, основывается на каком бы то ни было приближении. Задача тысячелетия, связанная с уравнением Навье — Стокса, призвана решить один из ключевых теоретических вопросов. Если бы удалось найти ответ на него, интуитивное представление о том, что численные методы здесь прекрасно работают, получило бы мощнейшее подкрепление. Существует тонкая разница между приближениями, которые использует компьютер (он вносит в уравнение крохотные изменения), и точностью ответа (здесь речь идет о крохотных изменениях в решении). Можно ли сказать, что точный ответ на приближенно поставленный вопрос — то же самое, что приближенный ответ на точно поставленный вопрос? Иногда ответ бывает «нет». Точные данные о потоке жидкости с очень низкой вязкостью, к примеру, часто не совпадают с приближенными данными о потоке жидкости с нулевой вязкостью.

Есть один шаг к осмыслению подобных проблем, который настолько очевиден и прост, что его легко можно проглядеть: речь идет о доказательстве того факта, что точное решение существует. Ведь согласитесь, должно существовать нечто, аппроксимацией чего являются компьютерные расчеты. Именно этим объясняется включение уравнения Навье — Стокса в число задач тысячелетия. Его официальное описание на сайте Института Клэя состоит из четырех отдельных задач. Решения любой из них будет достаточно для получения приза. Во всех четырех задачах жидкость считается несжимаемой. Вот эти задачи:

1. Существование и гладкость решений в трех измерениях. Здесь предполагается, что жидкость занимает бесконечное пространство целиком. При заданном первоначальном гладком поле скорости требуется доказать, что для любого положительного момента времени существует гладкое решение уравнения, совпадающее с заданным первоначальным полем.

2. Существование и гладкость решений на трехмерном плоском торе. Тот же вопрос, но теперь в предположении, что пространство представляет собой плоский тор — прямоугольник с отождествленными противоположными сторонами. В этой версии обходятся потенциальные проблемы, связанные с бесконечным пространством, о котором шла речь в первой версии; это пространство не соответствует реальности и может вызвать неправильное поведение системы по причинам, не имеющим непосредственного отношения к задаче.

3. Опровержение существования решений в трех измерениях. Опровергнуть пункт 1. Иными словами, найти начальное поле, для которого не существует гладкого решения в любой положительный момент времени, и доказать это утверждение.

4. Опровержение существования решений на трехмерном плоском торе. Доказать, что пункт 2 неверен.

Те же вопросы остаются открытыми и для уравнения Эйлера, которое, в сущности, эквивалентно уравнению Навье — Стокса, но не учитывает вязкости. За ответы на вопросы по уравнению Эйлера, однако, никто никаких призов не обещает.

Серьезная сложность здесь заключается в том, что рассматриваемый поток трехмерен. Существует аналогичное уравнение для жидкости, текущей по плоскости. Физически это может быть либо тонкий слой жидкости между двумя пластинами (считается, что они не вызывают трения), либо такой характер потока в трех измерениях, при котором жидкость движется совершенно идентичным образом вдоль системы параллельных плоскостей. В 1969 г. русский математик Ольга Ладыженская доказала, что для двумерного уравнения Навье — Стокса и двумерного уравнения Эйлера пункты 1 и 2 верны, а 3 и 4 — ложны.

Может показаться удивительным, но для уравнения Эйлера доказательство сложнее, чем для уравнения Навье — Стокса, хотя само уравнение проще, поскольку в нем не учитывается вязкость. Причина, надо сказать, весьма поучительная. Вязкость «снимает» вероятность того, что решение может привести к возникновению сингулярности, а та, в свою очередь, не позволит решению существовать в каждый момент времени. Если условие вязкости отсутствует, этого не происходит, что сказывается на математических характеристиках доказательства существования.

Ладыженская внесла еще одно важное дополнение в наши представления об уравнении Навье — Стокса, доказав не только, что решения существуют, но и что определенные вычислительные гидрогазодинамические модели аппроксимируют их с любой нужной нам точностью.