Величайшие математические задачи

Сценарий Ся учитывает и эффект пращи. Четыре планеты равной массы образуют две тесные пары, которые обращаются вокруг общих центров масс в двух параллельных плоскостях. Эти «ракетки», состоящие каждая из двух тел, играют в звездный теннис пятым, более легким телом, которое носится туда-сюда между ними по траектории, перпендикулярной плоскостям. Система устроена так, что всякий раз, когда этот «теннисный мячик» проходит мимо пары планет, эффект пращи ускоряет его и одновременно отталкивает пару планет прочь вдоль линии, соединяющей обе пары. Таким образом, «теннисный корт» с каждым ударом немного удлиняется, а игроки расходятся дальше. Энергия и импульс сохраняются в равновесии, поскольку две планеты, нанося «удар», придвигаются чуть ближе друг к другу и чуть ускоряют движение вокруг центра масс. При правильных начальных условиях пары планет расходятся все быстрее, и скорость их расхождения растет так стремительно, что они улетают в бесконечность за конечное время. При этом и «теннисный мяч» колеблется между ними все быстрее и быстрее. В сценариях разбегания Гервера тоже используется эффект пращи.

Но приложим ли этот фокус с исчезновением к реальным небесным телам? Нет, если подходить к вопросу буквально. В этих сценариях важно, чтобы тела были материальными точками. Для многих задач из небесной механики это достаточно разумное приближение, но не тогда, когда тела должны проходить на произвольно малых расстояниях друг от друга. Если бы тела конечных размеров действительно так делали, то рано или поздно они непременно столкнулись бы. Кроме того, релятивистские эффекты не позволили бы телам двигаться быстрее света и изменили бы закон гравитации. Во всяком случае начальные условия и дополнительное условие равенства некоторых масс в реальности, вероятно, никогда бы не выполнились. Тем не менее эти любопытные примеры показывают, что, хотя уравнения небесной механики, как правило, очень хорошо моделируют реальность, они могут иметь сложные сингулярности, которые не позволят решениям существовать в каждый момент времени. Не так давно ученые поняли, что в системе тройной звезды, где звезды движутся по сложным траекториям, эффект пращи может в какой-то момент выбросить одну из звезд наружу с большой скоростью. Так что вполне может оказаться, что галактику (а может, и межгалактическое пространство) бороздит несметное количество звезд-сирот — холодных, одиноких, нежеланных и невидимых, изгнанных братьями из своих систем.

Когда дифференциальное уравнение ведет себя так странно, что его решения через конечный промежуток времени лишаются всякого смысла, мы говорим, что возникает сингулярность. Описанная выше работа по задаче множества тел на самом деле посвящена различным типам сингулярности. В задаче тысячелетия, связанной с уравнением Навье — Стокса, спрашивается, могут ли сингулярности возникать в задачах с начальными условиями для жидкости, занимающей либо все пространство, либо плоский тор. Если сингулярность может сформироваться за конечное время, результатом, скорее всего, станет разрушение решения, разве что сингулярность разрешится позже сама собой, что представляется маловероятным.

Существует два основных подхода к этим вопросам. Можно попытаться доказать, что сингулярностей не возникает, а можно попытаться найти одну из них, подобрав подходящие начальные условия. В том и другом могут помочь численные решения: они могут предложить полезные общие свойства потоков, а могут дать кое-какие указания на возможную природу потенциальных сингулярностей. Однако в численных решениях потенциально теряется точность, поэтому к любым указаниям такого рода следует относиться с осторожностью и обосновывать их более строго.

В попытках доказать регулярность, т. е. отсутствие сингулярностей, ученые пытаются получить контроль над потоком при помощи целого ряда методов. Среди них сложные оценки величины тех или иных ключевых переменных или еще более абстрактные методики. Популярный подход предлагает воспользоваться так называемыми слабыми решениями, которые являются не потоками в точном смысле этого слова, а более общими математическими структурами с некоторыми свойствами потоков. Известно, к примеру, что набор сингулярностей любого слабого решения трехмерных уравнений Навье — Стокса всегда мал.