Величайшие математические задачи

Обычный подход состоит в том, чтобы разделить пространство на большое число маленьких областей, образовав таким образом расчетную сетку. Скорость при этом вычисляется только в узлах этой сетки. Сама сетка может состоять из обычных квадратов (или кубов, если речь идет о трех измерениях), как шахматная доска, но для расчета автомобилей или самолетов она должна быть более сложной и иметь вблизи границы ячейки помельче, позволяющие уловить более тонкие детали происходящего. Сетка может быть динамической и менять форму с ходом времени. Обычно считается, что время идет дискретно, небольшими шагами, иногда одинаковыми, а иногда меняющими длительность в соответствии с ходом расчетов.

Основой большинства численных методов служит то, как «скорость изменения» определяется в дифференциальном исчислении. Предположим, некий объект сдвигается из одной точки в другую за очень короткий промежуток времени. Тогда скорость изменения положения — собственно скорость — есть изменение положения, деленное на время, которое на это потребовалось. При этом возникает небольшая ошибка, которая постепенно исчезает, по мере того как укорачивается промежуток времени. Поэтому мы можем аппроксимировать скорость изменения, входящую в уравнение Навье — Стокса, этим отношением изменения пространственного положения к изменению времени. В результате уравнение говорит нам, как провести известное начальное состояние — заданный набор скоростей — на один временной шаг вперед, в будущее. Примерно так же можно аппроксимировать решения, когда ситуация определяется граничными условиями. Существует также много хитрых способов добиться того же результата с большей точностью.

Чем мельче ячейки расчетной сетки и короче промежутки времени, тем точнее становится аппроксимация. Однако и вычислительный процесс при этом занимает больше времени. Так что приходится искать компромисс между точностью и скоростью. В широком смысле можно сказать, что приближенный ответ, полученный при помощи компьютера, скорее всего, окажется приемлемым, если в потоке нет значимых черт меньших по размеру, чем размер ячейки расчетной сетки. Существует два типа потока — ламинарный и турбулентный. В ламинарном потоке движение идет плавно, а слои жидкости скользят один относительно другого свободно, без трения. Здесь сетки с некрупными ячейками должно быть достаточно. Турбулентный поток — бурный и пенистый, и токи жидкости в нем перемешиваются чрезвычайно сложным образом. В подобных обстоятельствах дискретная сетка, какой бы частой она ни была, может не решить проблему.

Одна из особенностей турбулентного потока — присутствие вихрей, похожих на крохотные водовороты. Стандартное изображение турбулентности представляет собой каскад все более мелких вихрей. Большая часть деталей в таком потоке меньше по размеру, чем ячейка любой реальной сетки. Чтобы обойти эту сложность, инженеры в практических вопросах, касающихся турбулентных потоков, часто прибегают к статистическим моделям. Еще одна проблема заключается в том, что физическая модель жидкости может оказаться непригодной к рассмотрению турбулентных потоков, потому что вихри могут уменьшаться до атомных размеров. Однако сравнение численных расчетов и экспериментальных данных показывает, что уравнение Навье — Стокса — это очень реалистичная и точная модель. Она настолько хороша, что сегодня во многих инженерных приложениях целиком полагаются на вычислительную гидрогазодинамику: по сравнению с дорогими натурными экспериментами в аэродинамических трубах с использованием масштабных моделей компьютерные расчеты очень дешевы. Однако в вопросах, от которых зависит безопасность людей (к примеру, при проектировании самолетов), подобные экспериментальные проверки проводятся до сих пор.

Уравнения Навье — Стокса настолько точны, что приложимы, судя по всему, даже там, где с точки зрения физики вполне могли бы отказывать: в турбулентном потоке. По крайней мере так дело обстоит в случае, если уравнение может быть решено с достаточной точностью. Главная проблема здесь имеет практический характер: когда поток становится турбулентным, численные методы решения уравнения начинают поглощать громадное количество компьютерного времени. Кроме того, мельчайшие структуры всегда ускользают от «внимания» компьютера.