Величайшие математические задачи

Существует два способа составить математическое описание потока жидкости: можно либо описать маршрут движения каждой частицы жидкости со временем, либо описать скорость потока в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Эти два описания связаны между собой: имея одно, можно (не без труда) вывести и второе. И Эйлер, и Навье, и Стокс использовали второй подход, потому что уравнение в этом случае получается гораздо более удобным и решаемым. Так что в их уравнениях фигурирует поле скоростей жидкости. В каждый конкретный момент времени поле скоростей точно определяет скорость и направление каждой частицы жидкости. По ходу времени это описание может меняться, именно поэтому в уравнении присутствуют скорости изменения параметров как в пространстве, так и во времени.

Уравнение Навье — Стокса имеет отличную физическую родословную. Оно основано на законах Ньютона, примененных к каждой крохотной частице (небольшой области) жидкости, и выражает в данном контексте закон сохранения импульса. Каждая частица движется, потому что на нее действуют силы, а закон движения Ньютона гласит, что ускорение частицы пропорционально действующей на нее силе. Основными силами являются трение, вызванное вязкостью, и давление. Присутствуют также силы, порожденные ускорением частицы. В соответствии с классической традицией уравнение описывает жидкость как бесконечно делимую массу. В частности, оно игнорирует дискретность атомной структуры жидкости в микромасштабе.

Уравнения сами по себе не имеют особой ценности: их надо еще научиться решать. Для уравнения Навье — Стокса решение означает расчет поля скоростей: скорости и направлении движения жидкости в каждой точке пространства в каждый момент времени. Уравнение налагает ограничения на эти величины, но не определяет их непосредственно. Вместо этого мы должны при помощи этого уравнения соотносить будущие скорости с текущими. Уравнения в частных производных, такие как уравнение Навье — Стокса, имеют много разных решений; точнее говоря, бесконечно много. И это неудивительно: жидкости способны течь очень по-разному: ток жидкости по капоту автомобиля отличается от тока жидкости по крылу самолета в полете. Существует два способа выбрать конкретный поток из бесконечного множества возможностей: используя либо начальные, либо граничные условия.

Начальные условия определяют поле скорости в какой-то конкретный момент времени; обычно его считают нулевым. Физически идея состоит в том, что если вам известно поле скорости в этот момент, то уравнение Навье — Стокса однозначно определяет это поле через очень короткий промежуток времени. Если для начала вы дадите жидкости толчок, она будет двигаться до тех пор, пока это не будет противоречить законам физики. Граничные условия более полезны в большинстве приложений, потому что начальные условия трудно обеспечить в реальной жидкости, да и вообще, они не слишком подходят для применения, скажем, в автомобильном дизайне. Там главное — форма машины. Вязкие жидкости прилипают к поверхностям. Математически это моделируется определением скорости на этих поверхностях, образующих границу занятой жидкостью области, а именно в ней уравнение действительно. К примеру, мы могли бы потребовать, чтобы скорость на границе была нулевой или наложить какое-то другое условие, которое наилучшим образом моделирует реальность.

Но даже в тех случаях, когда определены начальные или граничные условия, мы очень редко можем написать в явном виде формулу для поля скорости, потому что уравнение Навье — Стокса нелинейно. Сумма двух его решений, как правило, не является решением. Это, кстати, одна из причин, по которым задача трех тел из главы 8 настолько сложна, хотя это не единственная причина, ведь задача двух тел тоже нелинейна, но тем не менее решается в явном виде.

Для практических целей мы всегда можем решить уравнение Навье — Стокса на компьютере, представив поле скорости в виде набора чисел. Этот набор чисел можно очень наглядно представить в графическом виде и использовать для расчета величин, которые в первую очередь интересуют инженеров: к примеру, напряжений, возникающих в крыле самолета. Поскольку компьютеры не умеют работать с бесконечным количеством чисел и не могут проводить вычисления с бесконечной точностью, нам приходится заменять реальный поток его дискретной аппроксимацией, т. е. набором чисел, представляющих поток в конечном числе точек и моментов времени. При этом очень важно, чтобы аппроксимация была достаточно качественной.