Величайшие математические задачи

Трудность здесь не в том, чтобы найти ответ. Кеплер нам все рассказал. Трудность в том, чтобы доказать, что он был прав. За прошедшие столетия ученые собрали немало косвенных тому свидетельств. Никто не смог предложить более плотную упаковку. Именно такое расположение атомов часто встречается в кристаллах, где, как считается, плотность оптимальна для минимизации затрат энергии — это стандартный принцип, по которому созданы многие природные формы. Этого оказалось достаточно, чтобы убедить большинство физиков. И никто не смог доказать, что ничего лучшего не существует. В более простых вопросах такого рода, вроде упаковки кругов на плоскости, обнаружились скрытые глубины. Надо сказать, весь этот раздел математики сложен и полон неожиданностей. Все это тревожило математиков, хотя большинство из них тоже считали, что Кеплер дал верный ответ. В 1958 г. Амброз Роджерс описал гипотезу Кеплера как то, «во что многие математики верят, а все физики знают и так». В этой главе рассказывается, как математики обратили веру в точное знание.

Чтобы понять, что именно они сделали, нам придется как следует приглядеться к кеплеровой конструкции из шариков, известной как гранецентрированная кубическая решетка. Стоит сделать это, и начинают проявляться тонкости стоявшей перед математиками задачи. Первым на ум приходит вопрос: почему мы используем слои с квадратной решеткой? В конце концов, самой плотной упаковкой на плоскости (т. е. для одного слоя) является треугольная решетка. Дело в том, что гранецентрированную кубическую решетку можно получить и из слоев с треугольной укладкой шариков; именно в этом суть замечания Кеплера о том, что «треугольная схема укладки не может существовать без квадратной». Однако гранецентрированную кубическую решетку, сложенную из квадратных слоев, проще описывать. Кроме того, так мы убедимся, что гипотеза Кеплера не столь прямолинейна, как укладка апельсинов в ящики.

Предположим, что мы начинаем с плоского слоя шариков, уложенных треугольниками (см. рис. 16 справа). Между шариками имеются скругленные треугольные выемки, в которые могут лечь шарики следующего слоя. Когда мы начинали с квадратного слоя, мы могли использовать все выемки без исключения, и положение второго и последующих слоев определялось однозначно. С треугольными слоями не так. Мы не можем использовать все выемки, поскольку они располагаются слишком близко друг к другу. Мы можем использовать только половину. Один из вариантов укладки показан на рис. 18 слева при помощи небольших серых точек для наглядности, а рис. 18 справа демонстрирует, как следует расположить следующий слой шариков. Другой способ уложить новый слой в выемки предыдущего показан на рис. 19 слева темными точками. Эти точки совпадают с выемками второго слоя, так что мы добавляем третий слой в соответствующем положении. Результат показан на рис. 19 справа.

Если мы работаем всего лишь с двумя слоями, разница между двумя вариантами не играет никакой роли. Мы можем без труда получить первый вариант укладки, просто повернув второй вариант на 60°. Эти варианты одинаковы «с точностью до симметрии». Но после укладки первых двух слоев у нас появляются два по-настоящему разных варианта для третьего слоя. Каждый новый слой имеет две системы выемок, показанных на рис. 19 слева светлыми и темными точками. В одной из них выемки соответствуют центрам шариков предыдущего слоя, которые на рис. 19 справа видны как светло— серые треугольнички. Во второй выемки соответствуют выемкам предпредыдущего слоя и видны на рис. 19 справа как треугольнички с вписанными в них крохотными белыми шестиугольничками. Чтобы получить гранецентрированную кубическую решетку, мы должны использовать для третьего слоя темно-серые позиции, а затем повторять такой порядок укладки до бесконечности.

Не до конца очевидно, однако, что результатом такой укладки станет гранецентрированная кубическая решетка. Где же здесь квадраты? Дело в том, что квадраты в такой укладке присутствуют, но располагаются наклонно, под углом. На рис. 20 показаны шесть последовательных треугольных слоев, из которых удалена часть шариков. Стрелками указаны ряды и столбцы скрытой внутри квадратной решетки. Все слои, параллельные данному, тоже выстроены по квадратной решетке, а между собой соотносятся в точности так же, как я выстраивал гранецентрированную кубическую решетку.

Насколько компактна такая упаковка? Мы измеряем компактность (эффективность) упаковки ее плотностью: долей общего объема, занимаемой шариками{20}. Чем больше плотность, тем компактнее упаковка. Кубики укладываются в параллелепипед с плотностью 1, заполняя весь объем. Между шариками, очевидно, в любом случае останутся промежутки, так что плотность их упаковки меньше единицы. Плотность гранецентрированной кубической решетки составляет в точности π/√18, это примерно 0,7405. При такой упаковке шарики заполняют чуть меньше трех четвертей пространства, и гипотеза Кеплера утверждает, что никакая упаковка шариков не может иметь плотность больше этой.