Величайшие математические задачи

Я сформулировал все это достаточно осторожно. Я не сказал, что «плотность гранецентрированной кубической решетки выше, чем любой другой». Такое утверждение было бы неверным, и в этом несложно убедиться. Для этого вернемся к построению гранецентрированной кубической решетки из треугольных слоев. Я сказал, что после укладки первых двух слоев возникает два варианта укладки третьего. Гранецентрированная кубическая решетка возникает во втором варианте — том, что с темно-серыми точками. Что произойдет, если мы пойдем по первому пути и используем светло-серые точки? Тогда шарики третьего слоя окажутся точно над шариками первого. Продолжив точно так же и помещая каждый новый слой точно над позапрошлым слоем, мы получим второй вариант объемной решетки: гексагональную. Она отличается от гранецентрированной кубической решетки, но имеет ту же плотность. Интуитивно это понятно, поскольку два разных способа укладки третьего слоя симметричны относительно поворота, а сам слой в обоих случаях ложится на предыдущий одинаково плотно.

Это единственные два способа решетчатой упаковки, которые можно получить при укладке стопки треугольных слоев, но в 1883 г. географ и кристаллограф Уильям Барлоу заметил, что для каждого следующего слоя мы можем произвольно выбрать любой из двух вариантов укладки. Поскольку оба варианта вносят в плотность всей стопки одинаковый вклад, плотность всех этих вариантов упаковки будет одинакова и равна π/√18. При этом существуют бесконечно много случайных последовательностей такого рода и, соответственно, бесконечно много различных вариантов упаковки с одинаковой плотностью.

Короче говоря, нет единственной самой плотной объемной упаковки шариков. Их бесконечно много, и все они одинаково плотные. Отсутствие единственно верного решения — предупреждение: проблема не так проста и прямолинейна. Если Кеплер был прав, то существует оптимальная плотность упаковки, но есть и бесконечное множество различных структур, ею обладающих. И чтобы доказать оптимальность этой плотности, недостаточно успешно пристраивать каждый новый шарик к предыдущим как можно плотнее. Есть варианты.

Конечно, торговцы фруктами обладают невероятно богатым опытом — ведь гранецентрированную кубическую решетку наверняка можно было увидеть на рынках Древнего Египта еще в додинастическую эпоху, — но одним лишь опытом в таком деле никак не обойдешься. Вообще, тот факт, что метод торговцев фруктами дает хороший результат, в определенной мере случайность. Задача торговца фруктами состоит не в том, чтобы упаковать апельсины как можно плотнее в пространстве, где возможна, в принципе, любая конструкция. Его задача — уложить плоды как можно надежнее в мире, где земля плоская, а сила тяжести действует сверху вниз. Поэтому торговец начинает с того, что выкладывает апельсины в один слой — это очень естественно; затем он добавляет сверху еще один слой и т. д. Если ящик, в который укладываются плоды, прямоугольный, то первый слой, скорее всего, будет выложен по квадратной решетке. Если площадь ничем не ограничена, то естественной будет либо квадратная, либо треугольная решетка. В конечном итоге обе дают гранецентрированную кубическую решетку — по крайней мере, если треугольные слои укладываются как следует. Вообще говоря, квадратная решетка представляется не лучшим вариантом — ведь это не самый плотный способ укладки одного слоя. Однако — скорее по счастливой случайности, чем в результате осознанного выбора — это, как оказалось, не имеет значения.

Физики не интересуются апельсинами, их больше занимает то, как соседствуют друг с другом атомы. Кристалл — это регулярная, пространственно периодическая конструкция из атомов. Гипотеза Кеплера утверждает, что периодичность кристалла — это естественное следствие максимально плотной «упаковки» атомов. Для большинства физиков само существование кристаллов является достаточным доказательством, — по их мнению, гипотеза Кеплера очевидно верна. Однако мы только что убедились, что существует бесконечно много способов упаковки шариков с точно такой же плотностью, как у гранецентрированной кубической и гексагональной решеток, и что способы эти не являются пространственно периодическими. Так почему в кристаллах природа использует именно периодические структуры? Возможно, ответ в том, что атомы не следует рассматривать как сферические объекты.

Математики тоже не слишком интересуются апельсинами. Подобно Кеплеру, они предпочитают работать с идеальными и идентичными сферами, и доводы физиков не представляются им убедительными. Судите сами: если при моделировании кристаллов атомы не следует рассматривать как идеально круглые шарики, то существование кристаллов вообще не имеет отношения к гипотезе Кеплера и ничего не доказывает. Либо то, либо другое. Даже если вы скажете, что гипотеза как будто объясняет кристаллическую решетку, а кристаллическая решетка как будто показывает, что гипотеза верна… все равно в таком рассуждении будет логический пробел. Математикам нужно доказательство.