Величайшие математические задачи

На самом деле существует два варианта гипотезы Кеплера. Одна рассматривает только регулярную упаковку; в ней центры шариков образуют пространственную периодическую структуру, которая бесконечно повторяется в трех независимых направлениях, как своего рода объемные обои. Даже в этом случае проблема весьма сложна, поскольку в пространстве возможно множество различных решеток. Кристаллографы различают 14 их типов, различаемых по видам симметрии, и некоторые из этих типов имеют параметры, которые могут принимать бесконечно много различных значений. Но все эти сложности меркнут, когда начинается рассмотрение второго варианта гипотезы, разрешающей любые возможные упаковки. Шарики здесь находятся в пространстве без гравитации и совершенно не обязаны собираться в слои или какие бы то ни было симметричные структуры.

Когда задача представляется слишком сложной, математики обыкновенно убирают ее в долгий ящик и принимаются искать более простые варианты. Рассуждения Кеплера о плоских слоях наводят на мысль о более простой задаче — упаковке кругов на плоскости. Это значит, что на плоскости, где имеется бесконечное число одинаковых кругов, надо собрать их как можно плотнее. В такой задаче плотность — это доля площади, которую покрывают круги. В 1773 г. Жозеф Луи Лагранж доказал, что самая плотная упаковка кругов на плоскости достигается в треугольной решетке, где плотность составляет π/√12 ≈ 0,9069. В 1831 г. Гаусс в отзыве на книгу Людвига Зибера (тот обобщил некоторые теоретические выводы Гаусса по уравнениям третьего порядка) отметил: результаты Зибера доказывают, что самую плотную регулярную упаковку в трехмерном пространстве обеспечивают гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки. Сегодня математики очень много знают о решетчатой укладке в пространствах с бóльшим числом размерностей — четыре, пять, шесть и т. д. Особенно хорошо удалось разобраться с решетками в 24-мерном пространстве. (Да, такая уж это тема.) Несмотря на кажущуюся непрактичность, эта область математики имеет немало применений в теории информации и теории кодирования.

Нерешетчатые укладки — совершенно иное дело. Их бесконечно много, и они не отличаются приятной регулярностью структуры. Почему бы нам не удариться в другую крайность и не попробовать случайную укладку? Стивен Гейлс в своем труде «Статика растений» (1727) рассказал об экспериментах, в ходе которых он «вжимал несколько пакетов свежего гороха в один горшок» и обнаруживал, что при сильном сдавливании они образуют то ли «красивые правильные додекаэдры», то ли «достаточно правильные додекаэдры»[4]. Судя по всему, автор говорил о том, что правильные додекаэдры красивы, а не о том, что додекаэдры получались довольно правильные, но вторая интерпретация лучше, потому что настоящими правильными додекаэдрами невозможно без пустот заполнить пространство. Вероятно, он видел перед собой ромбические додекаэдры, которые, как мы уже убедились, связаны с гранецентрированной кубической решеткой. Дэвид Скотт насыпа́л в контейнер множество шариков от подшипников, тщательно встряхивал и измерял плотность укладки. По его данным, максимально она равнялась 0,6366. В 2008 г. Сун Чаомин, Ван Бин и Эрнан Макс получили эту же величину аналитически. Однако их результат не подразумевает, что Кеплер был прав, хотя бы потому, что это означало бы, что гранецентрированная кубическая решетка с плотностью 0,74 не может существовать. Простейшее объяснение такого расхождения заключается в том, что их результат не учитывает чрезвычайно редкие исключения, при том что и гранецентрированная кубическая, и гексагональная решетки, и все бесчисленные варианты конструкций из треугольных слоев представляют собой именно такие исключения. По тому же принципу может существовать и еще какая-нибудь конструкция с еще большей плотностью. Это не может быть регулярная конструкция, но найти ее при помощи бессистемного поиска невозможно, ибо ее вероятность равна нулю. Так что исследование случайных вариантов упаковки, хотя и важно для многих областей физики, не слишком много говорит нам о гипотезе Кеплера.

Первый по-настоящему важный прорыв в решении этой задачи произошел в 1892 г., когда Аксель Туэ в ходе лекции на Скандинавском конгрессе естественных наук коротко изложил доказательство того, что никакая упаковка кругов на плоскости не может быть плотнее треугольной решетки. Лекция была опубликована, но формулировки там слишком неопределенны, чтобы можно было реконструировать само доказательство. Новую версию того же доказательства Туэ опубликовал в 1910 г. Оно казалось убедительным, за исключением нескольких технических моментов, которые, как считал автор, можно было без особого труда довести до ума. Но Ласло Фейеш Тот, вместо того чтобы заполнять пробелы в чужом доказательстве, получил в 1940 г. собственное, полное, основанное на других методах. Вскоре после этого Беньямино Сегре и Курт Малер представили альтернативные доказательства. А в 2010 г. Чан Хайчау и Ван Личун выложили в Интернет более простое доказательство.