Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Рис. 9.11. Различные варианты равновесных распределений при расходах, пропорциональных достатку. Графики помечены значениями α, на правом графике в скобках приведены еще и значения индекса Джини

Получается, что чем большую часть своего капитала игроки вынуждены тратить (например, на повседневные нужды или еду), тем больше становится доля бедных и тем менее справедливым оказывается общество. Любопытно, что при α = 1/2 равновесное распределение становится экспоненциальным, как в модели при равном обмене. Напомню, что экспоненциальное распределение — частный случай гамма-распределения с параметром k = 1, так что это превращение само по себе неудивительно. Но тут есть одна любопытная тонкость: энтропия этого частного случая превышает энтропию распределений с любыми другими значениями α. Посмотрите, как изменяется энтропия по мере развития ситуации при α = 0,75 (рис. 9.12).

Рис. 9.12. В процессе перехода к равновесию система «проскакивает» состояние с максимальной энтропией

Поначалу значение энтропии монотонно увеличивается; потом, практически достигнув теоретического максимума, соответствующего экспоненциальному распределению, рост энтропии останавливается, и она начинает уменьшаться. Нет ли в этом противоречия с определением равновесного состояния как состояния с максимумом энтропии? Противоречия нет, поскольку равновесное состояние должно быть, во-первых, стационарным, не создающим направленных потоков энергии, а во-вторых, устойчивым или, говоря языком теории динамических систем, притягивающим к себе систему. В конце концов, среди всех стационарных состояний равновесным будет состояние с максимальной энтропией. А в нашем случае при α = 0,75 экспоненциальное распределение соответствует нестационарному состоянию.

Исследователи из Бостонского университета Слава Исполатов и Павел Крапивский[42] усложнили модель пропорционального обмена так, чтобы обмен происходил с учетом благосостояния не только тратящего, но и получающего. Миллионер редко покупает что-то у зеленщика, и зеленщик нечасто имеет большой доход; с другой стороны, производитель автомобилей экстра-класса будет взаимодействовать лишь с богатыми клиентами, но и сам не останется внакладе. Алгоритм такого обмена остается достаточно простым.

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене, beta — доля капитала, приобретаемого при обмене.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)

xs[i] <- xs[i] — dx

· · · · повторять, пока dx > 0

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

d = min(dx, floor(xs[j]*beta))

· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + d

dx <- dx — d

И вот в моделях, в которых богатые начинают платить преимущественно богатым, а бедные — бедным, общество «разваливается» окончательно. Если денежные потоки оказываются зависимы от капитала, система теряет устойчивость и приводит к постоянному обнищанию группы и все большему нарастанию классового неравенства. В ней существует только одно стационарное состояние: когда все игроки не имеют (и, следовательно, не получают) ровным счетом ничего, а все богатство достается кому-нибудь одному. Коэффициент Джини в таком состоянии практически равен единице, и оно очень далеко от нормального равновесного — его энтропия почти равна нулю. Спасти положение можно различными способами. Например, ввести ограничение снизу, запрещающее игрокам терять абсолютно все сбережения, и в этом случае равновесное распределение становится снова экспоненциальным либо гамма-распределением. Или организовать подобие налогообложения, обеспечивающее стабильный поток средств от богатых ко всем, в том числе бедным. Модель «дикого рынка» вполне применима к рынку ценных бумаг без каких-либо ограничений, но на реальных биржах с этим борются, вводя ограничения на объем сделок, совершаемых за день, и на максимальные уровни роста или падения цены на тот или иной актив.

* * *