Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Пока наша модель обмена никак не учитывает достатка игроков, она остается нереалистичной. В действительности богатые тратят больше, а бедные меньше; более того, разумные люди стараются сохранить какую-то часть своего состояния. В качестве следующего усложнения модели потребуем, чтобы игроки в процессе перераспределения отдавали некую известную долю своего состояния Δm = [αm], где 0<α<1. При этом дробные денежные единицы округляются до ближайшего целого вниз (это значит, что если αm окажется меньше единицы, то Δm = 0). Иными словами, добавим нашим участникам желание быть экономными.

В систему вводятся новый параметр и новое ограничение; следовательно, равновесное состояние должно как-то отклониться от экспоненциального. Оперируя долями от уровня благосостояния, мы переходим к мультипликативным характеристикам, таким, например, как доходность вложения, возврат инвестиций и т. д. Во всех учебниках по экономике указывается, что если вы желаете вычислить среднюю доходность вложения, скажем, за много лет, то следует определять среднее геометрическое для доходностей каждого года. В нашем случае среднее геометрическое однозначно, хоть и нетривиально, определяется значением α. Таким образом, добавляя новый параметр, мы фиксируем среднее геометрическое распределения дохода игроков, или среднюю доходность модели рынка. Значит, согласно таблице распределений с максимальной энтропией, мы можем ожидать, что равновесное распределение богатства должно неплохо описываться гамма-распределением. В этом мы можем убедиться, проведя имитационное моделирование (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Если расходы при обмене пропорциональны достатку, равновесное распределение стремится к характерному несимметричному колоколообразному гамма-распределению. В данной модели α = 1/3

Для имитационного моделирования был реализован такой алгоритм пропорционального обмена.

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)

xs[i] <- xs[i] — dx

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

xs[j] <- xs[j] + dx

Эта книга — хоть и популярная, но все же математическая. Это значит, что все результаты, попавшие на ее страницы, имеют доказательства или строгий вывод, пусть зачастую и остающиеся за пределами изложения в силу их громоздкости. И хотя для дальнейшего изложения этот результат не нужен, я приведу точное и довольно изящное выражение для распределения, которое мне удалось получить для модели пропорционального обмена.

Гамма-распределение Gamma(k,θ) — двухпараметрическое распределение, которое часто используется как обобщение экспоненциального и сводится к нему при k = 1. Оно имеет ряд замечательных свойств, делающих его полезным. Об одном из них мы уже говорили — это распределение с максимальной энтропией в своем классе. Другое важное свойство — его бесконечная делимость и связанная с этим устойчивость. Случайная величина называется бесконечно делимой, если для любого числа n≥1 ее можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин. А если эти слагаемые имеют то же распределение, что и исходная случайная величина, последняя называется устойчивой. Яркий пример устойчивого распределения — нормальное. И именно это его свойство вместе с тем, что оно является распределением с максимальной энтропией в самом широком классе распределений, делает его героем центральной предельной теоремы.

Но вернемся к гамма-распределению. Для него верно, что:

если x ~ Gamma(k₁,θ), y ~ Gamma(k₂,θ), то x + y ~ Gamma(k₁ + k₂,θ).

Наконец, гамма-распределение масштабируемо:

если x ~ Gamma(k,θ), то ax ~ Gamma(k,aθ).

Все эти свойства позволили получить распределение благосостояния для нашей модели со средним значением m и коэффициентом α в таком виде:

В модели обмена фиксированной суммой вероятность потерять все деньги была достаточно велика. В модели пропорционального обмена она оказывается равна нулю. Это связано с тем, что бедные тратят в среднем меньше, чем получают от богатых, ведь и те и другие обмениваются долями своего капитала. Но этот социальный лифт действует только при α < 1/2. Если тратить больше половины того, что имеешь, вероятность оказаться в бедняках становится не просто отличной от нуля, а весьма ощутимой. Для различных значений можно получить различающиеся по форме распределения с широким диапазоном несправедливости (рис. 9.11).