Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

А что случится при нарушении симметрии, то есть при сдвиге правой границы вправо или влево от значения 2m? Распределение достатка в таком случае перестанет быть равномерным и приобретет некоторый перекос в сторону смещения среднего относительно середины разрешенного диапазона уровня богатства. Принцип максимума энтропии позволяет получить точные выражения для этих распределений — это всё те же распределения Гиббса (экспоненциальные), но отличные от нуля лишь на заданном отрезке и соответствующим образом нормированные (рис. 9.9). Правда, в конечной форме (в виде алгебраического выражения) показатели экспонент уже не выражаются, но их всегда можно получить численно с необходимой точностью.

Рис. 9.9. Варианты равновесных распределений для обмена с ограничением сверху. Вертикальной линией показано значение среднего (начального) богатства участников эксперимента. Коэффициенты Джини для полученных нами двух случаев равны 0,2 (для правого смещения среднего) и 0,43 (для левого смещения среднего)

Очень необычный вид распределения получается при смещении среднего относительно середины отрезка вправо: богатых игроков в равновесии становится больше, чем бедных. Показатель, характеризующий температуру в этом распределении, имеет отрицательный знак! В обычной жизни под отрицательной мы понимаем температуру ниже точки замерзания воды — 0 ^oC — и ничего странного в ней не находим. Однако в термодинамике речь идет об абсолютной температуре (по Больцману) как о характеристике внутренней энергии системы. Таким образом, для частиц, не взаимодействующих между собой (как в идеальном газе), говорить об отрицательной температуре нет смысла: модуль количества движения не может быть меньше нуля. Но в других физических системах такая ситуация уже возможна. В статистической физике отрицательной считается температура, характеризующая равновесные состояния термодинамической системы, где вероятность обнаружить систему в микросостоянии с более высокой энергией выше, чем в микросостоянии с более низкой. Это становится возможным лишь при ограниченном объеме фазового пространства; именно такой случай мы и наблюдаем. Примерами систем с отрицательной абсолютной температурой могут быть лазер в возбужденном состоянии, частицы газа в сложных внешних силовых полях, например в стоячей световой волне, и другие непростые квантовые системы.

Внимательный читатель может возмутиться: мы же говорили, что в нашем случае роль температуры играет среднее количество денег у членов группы, какой же смысл может быть в отрицательном среднем количестве денег? Введение верхнего предела оставило распределение экспоненциальным, но поменяло форму показателя в экспоненте. Теперь он хоть и зависит от среднего значения m, но не равен ему. Если нам будет угодно, мы и дальше можем называть величину, обратную показателю, аналогом температуры, но делать это следует с большой осторожностью. Показатель в экспоненте получается пропорциональным значению 1/(m — x_max/2), и эта величина уже может менять знак. Более того, он меняется при переходе знаменателя через ноль! Получается, что равномерному распределению (m — x_max/2) соответствует бесконечная температура? Это не совсем так. На ноль, как мы уже упоминали, делить нельзя, так что о какой-либо температуре — в смысле показателя экспоненты — для равномерного распределения говорить тоже нельзя, ведь распределение вовсе перестает быть экспоненциальным. Выбранная нами математическая модель меняется, и в ней нет аналога термодинамической температуры.

Я хочу здесь еще ненадолго остановиться на вопросе применимости математических и физических аналогий. Часто привычные и, как нам кажется, простые понятия имеют очень глубокие и фундаментальные основания. Так, знакомое всем нам с детства понятие температуры физикам удалось глубоко понять и осознать только с развитием методов теории вероятностей и математической статистики. После этого стало возможным осмысленно рассуждать о термодинамике лазеров, биологических и социальных систем, звезд и даже черных дыр. В данной книге мы постигаем природу несправедливости с помощью этих же методов. Но не нужно буквально понимать наши достаточно вольные рассуждения о температуре рынка, ее знаке и возможности бесконечных значений. Мы много раз говорили об удивительной способности математики обнаруживать одинаковые модели и структуры для самых разнообразных явлений. Построенная нами статистическая модель рынка и модель ансамбля физических частиц, имея много общего, все же не одно и то же. Именно поэтому то, что в физике называется и является температурой, имеет аналог в эконофизике, но собственно температурой в этой дисциплине не считается — как и величина, обратная интенсивности, в экспоненциальном распределении пауз между машинами на автостраде.

Экономика должна быть экономной