За руку с учителем

= Если каждое число в квадрате удвоить или утроить, то получится новый квадрат.

— Но это же не тайна… Нам надо понять, как, в каком порядке, в какой последовательности расположены числа в квадрате.

Дмитрий думает.

= Смотрите, что я нашел, может быть, тут тайна? Вот в средних столбиках рядом стоят порядковые числа: 3 и 2, под ними 10 и 11, под ними 6 и 7, а потом 15 и 14.

— Это интересно… Дальше след теряется… Может быть, есть какой-либо порядок в столбиках?

После размышлений:

= Нет никакого порядка… тоже след исчезает.

Вадим с двумя товарищами:

= У нас сложилась версия.

Обращаюсь ко всем:

— Коллеги, давайте обсудим версию группы Вадима.

Вадим:

= Посмотрите, мы заметили такое расположение одной группы чисел. Берите средние два столбика: разность соседних чисел в столбиках составляет 1.

3–2=1, 11–10=1, 7–6=1, 15–14=1.

Вопрос:

— А как с другими столбиками?

Вадим:

= Разность крайних чисел по горизонтали составляет 3; 16–13=3, 8–5=3, 4–1=3.

Вопрос:

= А вы пробовали составить новый квадрат таким же способом?

Вадим:

= Еще нет…

Андрей:

= Так у вас квадрат не получится.

Вадим:

= Почему?

Андрей:

= Не знаю, но уверен, что так Альбрехт Дюрер свой квадрат не строил. А вы все же попробуйте.

Обсуждаем другую версию.

Люба:

= А что, если воспользоваться тем, что говорит Нина? Крайние угловые числа и внутренние перекрестные числа (показывает на квадрате: 16+1, 4+13, 10+7, 6+11) дают в сумме 17.

Вопрос:

= Ну и что? Так тоже квадрат не построить…

Тимур:

= Я предлагаю не обсуждать такие версии — о суммах или разностях чисел. В новом квадрате, который мы хотим создать, числа изменятся, и сумма и разность их будут уже другие… Нам нужен общий способ.

Саша и Марика выдвигают свою версию.

Саша:

= Мы думаем, что напали на след. В квадрате 16 чисел, от 1 до 16 по порядку. Давайте посмотрим, как каждое последующее число расположено в квадрате. Вот 1, в самом нижнем правом углу, вот 2, в первом ряду в середине, тут же 3, а в самом нижнем углу слева — 4.

Реплика:

= Они так разбросаны… тоже нет порядка…

Марика:

= Почему? Давайте посмотрим дальше. Вот 5, вот 6, вот 7 и вот 8… тоже по какой-то схеме…

Вопрос:

= А дальше?

Саша и Марика замешкались.

Саша:

= Мы еще подумаем! — Саша с Марикой возвращаются на свои места.

Слушаю с подчеркнутой заинтересованностью тех, кто выдвигает версии. И хотя версия опровергается, я все же говорю авторам:

— Вы очень помогли нам… Значит, по этому пути ходить не будем… Спасибо!

Дети продолжают исследовать квадрат.

Арсений:

= Смотрите, что я обнаружил. Возьмем в квадрате числа вот так и сложим их: 16 + 10 + 11 + 13 и 4 + 6 + 7 + 1, сложим все вместе. Сколько будет? 68.

Реплика:

= А что это дает?

Арсений:

= Подожди. Возьмем по такой же схеме боковые числа: 16 + 10 + 6 + 4 и 13 + 11 + 7 + 1 и тоже все сложим вместе. Сколько будет? Опять 68.

Реплика:

= А как квадрат составить?

Арсений:

= Дело не в этом, а в схеме…

Реплика:

= Ты опять складываешь числа… Построй сперва по своей схеме квадрат.

Арсений:

= Но схема важна!

— Арсений, коллега, проверь свою схему.

Арсений:

= Я один не могу. Может быть, с вами вместе?

— Но я с Дмитрием работаю. Присоединяйся к нам.

Марина, возбужденно:

= Они же напали на след!..

= Кто они?

Марина:

= Саша и Марика. Они предложили правильный путь… И Арсений тоже догадался — нам нужна схема. А схему в квадрате я вижу.

— Марина, объясни, пожалуйста, о какой схеме ты говоришь.

Марина:

= Пусть Саша и Марика тоже подойдут к доске и помогут мне.

Дети все свое внимание переключили на Марину. К доске выходят Саша и Марика.

Марина:

= Беру красный мел, чтобы выделить схему. Посмотрите.

Волшебный квадрат на доске принимает следующий вид:

Марина:

= Видите, какая интересная схема, симметричная. Нам только надо знать эти линии от числа к числу, и получится новый квадрат.

Реплика:

= Ты так думаешь?

Саша:

= Получится, получится… Давайте вместе попробуем его составить.

Дети загорелись нетерпением.

Саша чертит на доске квадрат без цифр.

Саша:

= Назовите любое число, которое мы запишем вместо «1».

= Три… Пять…

Саша: