Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему — приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это и есть задуманное им число.

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо четырех множителей 3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы трех множителей: 21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.

Число это — 10 101,—пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет назад в "Арифметике" Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения "с некоим удивлением". С тем большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

ЧИСЛО 10 001

С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:

10 001 = 73 х 137.

Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий "с удивлением", читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.

ШЕСТЬ ЕДИНИЦ

В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры — число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111 111 = 111 х 1001.

Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен[28], состоящий из одних лишь единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число — 111 111:

3 х (7 х 11 х 13 х 37) = 3 х 37 037= 111 111

7 х (3 х 11 х 13 х 37) = 7 х 15873 = 111 111

11 х (3 х 7 х 13 х 37) = 11 х 10 101 = 111 111

13 х (3 х 7 х 11 х 37)= 13 х 8547 = 111 111

37 х (3 х 7 х 11 х 13) = 37 х 3003 = 111 111

(3 х 7) х (11 х 13 х 37) = 21 х 5291 = 111 111

(3 х 11) х (7 х 13 х 37) = 33 х 3367 = 111 111 и т. д.

Вы можете, значит, засадить 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111 111.

То же число, 111 111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10 101. В данном случае нужно предлагать задумать число однозначное, то-есть одну цифру, и повторить ее 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.

На примере числа 111 111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.

Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие—1 и 11—простые, остальные — составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:

111 = 3 х 37

1111 = 11 х 101

11111 = 41 х 271

111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37

1111111 = 239 х 4649

11111111 = 11 х 73 х 101 х 137

111111111 = 9 х 37 х 333 667

1111111111 = 11 х 41 х 271 х 9091

11111111111 = 21 649 х 513 289

111111111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37 х 101 = 9901

Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4, из 5, из 6, из 8, из 9, из 12 единиц более или менее пригодны для этой цели. Образчики использования их для отгадывания будут даны в конце следующей главы.

ЧИСЛОВЫЕ ПИРАМИДЫ

В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода — некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из них: