Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1234567 х 9 + 8 = 11111111

12345678 х 9 + 9 = 111111111

Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?

Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды: 123456 х 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 — 1), то-есть приписать 0 и вычесть умножаемое:

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем уяснить себе это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12 345… превратилось в число вида 11 111…, нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей — 2, из четвертой — 3, из пятой — 4 и т. д. — иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12 345…, вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое — значит умножить на 9).

Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:

1 х 8 + 1 = 9

12 х 8 + 2 = 98

123 х 8 + 3 = 987

1234 х 8 + 4 = 9876

12345 х 8 + 5 = 98765

123456 х 8 + 6 = 987654

1234567 х 8 + 7 = 9876543

12345678 х 8 + 8 = 98765432

123456789 х 8 + 9 = 987654321

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение натурального ряда цифр в таковой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.

Получение странных результатов уясняется из следующей строки:

^{1 _{Почему 12345 х 9 + 6 дает именно 111111, было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды}}.

то-есть 12345 х 8 + 5 = 111111 — 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр: 98 765.

Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:

9 х 9 + 7 = 88

98 х 9 + 6 = 888

987 х 9 + 5 = 8888

9876 х 9 + 4 = 88888

98765 х 9 + 3 = 888888

987654 х 9 + 2 = 8888888

9876543 х 9 + 1 = 88888888

98765432 х 9 + 0 = 888888888

Эта пирамида является прямым следствием первых двух. Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:

12345 х 9 + 6 = 111111.

Умножив обе части на 8, имеем:

(12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = 888888

Но из второй пирамиды известно, что

12345 х 8 + 5 = 98765, или 12345 х 8 = 98760.

Значит:

888888 = (12 345 х 8 х 9) + (6 х 8) = (98 760 х 9) + 48 = (98760 х 9) + (5 х 9) + 3 = (98 760 + 5) х 9 + 3 = 98765 х 9 + 3.

Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уж загадочны, как кажутся с первого взгляда.

ДЕВЯТЬ ОДИНАКОВЫХ ЦИФР

Конечная строка первой из только что (см. стр. 85) рассмотренных пирамид

12 345 678 х 9 + 9 = 111 111 111

представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:

12345679 х  9 = 111111111

12345679 х 18 = 222222222

12345679 х 27 = 333333333

12345679 х 36 = 444444444

12345679 х 45 = 555555555

12345679 х 54 = 666666666

12345679 х 63 = 777777777

12345679 х 72 = 888888888

12345679 х 81 = 999999999

Откуда такая закономерность в результатах?

Примем во внимание, что

12345 678 х 9 + 9 = (12 345 678 + 1) х 9 = 12 345 679 х 9.

Поэтому

12345 679 х 9 = 111 111 111.

А отсюда прямо следует, что

12 345 679 х 9 х 2 = 222 222 222,

12 345 679 х 9 х 3 = 333 333 333,

12 345 679 х 9 х 4 = 444 444 444 и т. д.

ЦИФРОВАЯ ЛЕСТНИЦА