Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931.

Если указанное сейчас условие (относительно чисел цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, ¹/₁₃ дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

¹/₁₃ = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

²/₁₃ = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, то-есть 6; различных же множителей для дроби ¹/₁₃ у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9, 10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076 923 х 3 = 230 769), на остальные — нет. Вот почему от ¹/₁₃ получается число, лишь отчасти пригодное для "магического кольца". То же надо сказать и о ряде других периодов.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

24³/₆ + 75⁹/₁₈ = 100

47³/₆ + 52⁹/₁₈ = 100

74³/₆ + 25⁹/₁₈ = 100

95³/₇ + 4¹⁶/₂₈ = 100

98³/₆ + 1²⁷/₅₄ = 100

94¹/₂ + 5³⁸/₇₆ = 100

1⁶/₇ + 3 + 95⁴/₂₈  = 100

57³/₆ + 42⁹/₁₈ = 100

Каждая сумма состоит только из девяти разных цифр.

Глава 6 ФОКУСЫ БЕЗ ОБМАНА

ИСКУССТВО ИНДУССКОГО СЧЕТЧИКА

Арифметические фокусы — честные, добросовестные фокусы. Здесь не стремятся обмануть, не стараются усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить арифметический фокус, не нужны ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие-либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений.

Весь секрет арифметического фокуса состоит в тщательном изучении и использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому все представляется простым и ясным; а для не знающего арифметики и самое обычное действие кажется уже чем-то вроде фокуса.

Было время, когда уменье выполнять даже обыкновенные арифметические действия над большими числами, знакомое теперь каждому школьнику, составляло искусство лишь немногих и казалось остальным какой-то сверхъестественной способностью. В древнеиндусской повести "Наль и Дамаянти"[31] находим отголосок такого взгляда на арифметические действия. Наль, умевший превосходно править лошадьми, вез однажды счетчика-виртуоза Ритуперна мимо развесистого дерева — Вибитаки.

"Вдруг он увидел вдали Вибитаку — ветвисто-густою Сенью покрытое дерево. "Слушай, Вагука, — сказал он:

— Здесь на земле никто не имеет всезнанья; в искусстве Править конями ты первый; зато мне далося искусство Счета…"

И в доказательство своего искусства счетчик мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну его искусства, и тот соглашается.

"…Лишь только Вымолвил слово свое Ритуперн, как у Наля открылись Очи и он все ветви, плоды и листы Вибитаки Разом мог перечесть…"

Секрет искусства состоял, как можно догадаться, в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножением этого числа на число веток каждого сука и далее — на число сучьев дерева (предполагая, что все сучья одинаково обросли ветками, а ветки — листьями).

Разгадка большинства арифметических фокусов столь же проста, как и секрет "фокуса" Ритуперна. Стоит лишь узнать, в чем секрет фокуса, и вы сразу овладеваете искусством его выполнять, как овладел легендарный Наль изумительным искусством быстрого

счета. В основе каждого арифметического фокуса лежит какая-нибудь интересная особенность чисел, и потому знакомство с подобными фокусами не менее поучительно, чем занимательно.

НЕ ОТКРЫВАЯ КОШЕЛЬКОВ

Фокусник высыпает на стол кучу монет на сумму 3 руб. и предлагает вам задачу: разложить деньги по 9 кошелькам так, чтобы можно было уплатить любую сумму до 3 руб., не открывая кошельков.

Это может показаться совершенно невыполнимым. Не думайте, однако, что фокусник расставил вам ловушку из игры слов или неожиданного их толкования. Посмотрите: фокусник сам берется за дело. Разложив монеты по кошелькам и привязав к каждому ярлычок с обозначением вложенной суммы, он предлагает вам назначить любую сумму не выше 3 руб.

Вы называете, например, 2 руб. 69 коп.

Без малейшего промедления фокусник отбирает и подает вам 4 кошелька. Вы открываете их и находите: