Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

в одном… — руб. 64 коп.

в другом… — руб. 45 коп.

в третьем… 1 руб. 28 коп.

в четвертом… — руб. 32 коп.

Итого… 2 руб. 69 коп.

Вы готовы заподозрить фокусника в ловкой подмене кошельков и требуете повторения фокуса. Он пододвигает все кошельки к вам, и когда вы называете новую сумму — например, 1 руб., или 7 коп., или 2 руб. 93 коп., — немедленно указывает, какие из лежащих кошельков должны вы взять, чтобы составилась назначенная вами сумма. А именно:

Для 1 руб. — 6 кошельков (32 коп., 1 коп., 45 коп., 16 коп., 2 коп., 4 коп.).

Для 7 коп. — 3 кошелька (1 коп., 2 коп., 4 коп.). Для 2 р. 93 к. — 6 кошельков (128 коп., 32 коп., 8 коп., 45 коп., 64 коп., 16 коп.).

Фокус с 9 кошельками.

Кошельки, по приказу фокусника, оказывается, всегда готовы составить любую названную сумму (до 3 руб.).

Чем это объяснить?

Секрет кроется в том, чтобы разложить монеты следующим образом: 1 коп., 2 коп., 4 коп., 8 коп., 16 коп., 32 коп., 64 коп. и 128 коп. и, наконец, в последний— остальные деньги, то-есть

300 — (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) = 300 – 255 = 45 (коп.).

Из первых 8 кошельков возможно, как нетрудно убедиться, составить любую сумму от 1 до 255 коп.; если же задается сумма большая, то пускают в дело последний кошелек, с 45 коп., а разницу составляют из первых 8 кошельков.

Вы можете проверить пригодность такой группировки чисел многочисленными пробами и убедиться, что из них можно действительно составить всякое число, не превышающее 300.

Но вас, вероятно, интересует и то, почему собственно ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. обладает столь замечательным свойством. Это нетрудно понять, если вспомнить, что числа нашего ряда представляют степени 2: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴ и т. д.[32] и, следовательно, их можно рассматривать как разряды двоичной системы счисления. А так как всякое число можно написать по двоичной системе, то, значит, и всякое число возможно составить из суммы степеней 2, то-есть из чисел ряда 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. И когда вы подбираете кошельки, чтобы составить из их содержимого заданное число, вы, в сущности, выражаете заданное число в двоичной системе счисления. Например, число 100 легко составить, если изобразить его в двоичной системе:

Напомним, что в двоичной системе на первом месте справа стоят единицы, на втором — двойки, на третьем — четверки, на четвертом — восьмерки и т. д.

УГАДАТЬ ЧИСЛО СПИЧЕК

Свойством двоичной системы можно воспользоваться и для следующего фокуса. Вы предлагаете кому-нибудь взять неполный коробок со спичками, положить на стол, а рядом положить семь бумажных квадратиков. Затем просите в вашем отсутствии проделать следующее: оставив половину спичек в коробке, перенести другую половину на ближайшую бумажку; если число спичек нечетное, то излишнюю спичку положить рядом с бумажкой, налево от нее. Спички, очутившиеся на бумажке, надо (не трогая лежащей рядом) разделить на две равные части: одну половину положить в коробку, другую — переложить на следующую бумажку; в случае нечетного числа остающуюся спичку положить рядом со второй бумажкой. Далее надо поступать таким же образом, возвращая всякий раз половину спичек обратно в коробку, а другую половину перекладывая на следующую бумажку, не забывая при нечетном числе спичек класть одну спичку рядом.

В конце концов все спички, кроме одиночных, лежащих рядом с бумажками, возвратятся в коробок (см. рисунок).

Отгадывание числа спичек: последовательные действия загадывающего.

Когда это сделано, вы являетесь в комнату и, бросив взгляд на пустые бумажки, называете число спичек во взятой коробке.

Как можно по пустым бумажкам и случайным единичным спичкам догадаться о первоначальном числе спичек в коробке?

Эти пустые бумажки в данном случае очень красноречивы: по ним и по одиночным спичкам можно буквально прочесть искомое число, потому что оно написано на столе — в двоичной системе счисления. Поясним это на примере.

Пусть число спичек было 66. Последовательные операции с ними и окончательный вид бумажек показаны на схемах рисунков.

Продолжение фокуса: окончательный вид бумажек.

Нетрудно сообразить, что проделанные со спичками операции, в сущности, те же самые, какие мы выполнили бы, если бы хотели выразить число спичек в коробке по двоичной системе счисления; окончательная же схема прямо изобразит это число в двоичной системе, если пустые бумажки принять за ноли, а бумажки, отмеченные сбоку спичкой, — за единицы. Читая схему слева направо, получаем:

в десятичной же системе: 64 + 2 = 66.

Если бы было 57 спичек, мы имели бы иные схемы, показанные на следующих рисунках.