Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142 857 есть период дроби, равной ¹/₇. В самом деле: что мы собственно делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Переставляем группу цифр с начала строки на конец, то-есть согласно только что сказанному умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей ¹/₇, ²/₇, ³/₇ и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, то-есть опять-таки наш ряд цифр 142 857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают единицу или больше 1.

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда не тождественный с рассмотренными, но все же сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, то-есть на 8, на 9 и т. д. Умножить 142 857, например, на 8 мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (то-есть к 999 999) прибавить наше число:

142 857 х 8 = 142 857 х 7 + 142 857 = 999 999 + 142 857 = 1 000 000 — 1 + 142 857 = 1 000 000 + (142857 — 1).

Окончательный результат — 1 142 856 — отличается от умножаемого 142 857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142 857 на всякое другое число больше 7, как легко усмотреть из следующих строк:

142857 х   8 = (142 857 х 7) + 142 857 = 1 142856,

142 857 х  9 = (142 857 х 7) + (142 857 х 2) = 1 285 713,

142 857 х 10 = (142 857 х 7) + (142 857 х 3) = 1 428 570,

142 857 х 16 = (142 857 х 7 х 2) + (142 857 х 2) = 2 285 712,

142 857 х 39 = (142 857 х 7 х 5) + (142 857 х 4) = 5 571 423.

Общее правило здесь такое: при умножении 142 857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата[30]. Пусть мы желаем умножить 142 857 на 88. Множитель 88 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:

12 571 428 — 12 = 12 571 416.

От умножения 142 857 на 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52 142 857 — 52 = 52 142 805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно, нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносным умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, заметим, что оно произошло от ¹/₇, или, что то же самое, от ²/₁₄; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 999:

999 — 142857 = 857

Мы уже имели дело с такими числами — именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142 857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142 857 = 143 х 999.

Но 143 = 13 х 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 х 11 х 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142 857 х 7:

142 857 х 7 = 143 х 999 х 7 = 999 х 11 х 13 х 7 = 999 х 1001 = 999 999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Чисел, подобных тому, с которым мы познакомились, существует множество. Они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением — от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

¹/₇ дает в периоде 6 цифр

¹/₁₇ -""- 16

¹/₁₉ -""- 18

¹/₂₃ -""- 22

¹/₂₉ -""- 28

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения ¹/₁₇, ¹/₁₉, ¹/₂₃ и ¹/₂₉ в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренный нами период дроби ¹/₇.

Например, от ¹/₂₉ получаем число