Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Любопытно, что получится, если число 111 111 111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно подозревать, что результат должен быть диковинный, но какой именно?

Если вы обладаете способностью четко рисовать в воображении ряды цифр, вам удастся найти интересующий нас результат, даже не прибегая к выкладкам на бумаге. В сущности, здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу — действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышлявшего о результате умножения "единожды один". Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц[29]. Вот результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится ни разу прибегать к действию умножения):

Все девять цифр результата симметрично убывают от середины в обе стороны.

Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь галерею и перейти в следующие отделения, где показываются фокусы и выставлены числовые великаны и карлики; я хочу сказать: они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями мира чисел, приглашаю осмотреть со мною небольшой ряд ближайших витрин.

МАГИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА

Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом.

На каждом кольце написаны шесть цифр в одном и том же порядке, именно — обозначено число 142857.

Кольца обладают следующим удивительным свойством: как бы ни были они повернуты, мы при сложении двух написанных на них чисел, считая от любой цифры в направлении часовой стрелки, получим во всех случаях шестизначное число (если только результат вообще будет шестизначный), лишь немного подвинутое! В том положении, например, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы получаем при сложении двух наружных колец:

142 857

+

428 571

_______

571 428

то-есть опять тот же ряд цифр: 142 857, только цифры 5 и 7 перенеслись из конца в начало.

Вращающиеся числовые кольца.

При другом расположении колец относительно друг друга имеем такие случаи:

285 714 + 571 428 = 857 142

714 285 + 142 857 = 857 142

и т. п.

Исключение составляет случай, когда в результате получается 999 999:

285 714 + 714 285 = 999 999

(Причину других отступлений от указанного правила читатель поймет, когда дочитает эту статью до конца.)

Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах.

Например:

428571 — 142857 = 285714

571428 — 285714 = 285714

714285 — 142857 = 571428

Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры; тогда, разумеется, разность равна нолю.

Но и это еще не все. Умножьте число 142 857 на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 — и вы получите снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:

142857 х 2 = 285714,

142857 х 3 = 428571,

142857 х 4 = 571428,

142857 х 5 = 714285,

142857 х 6 = 857142.

Чем же все загадочные особенности нашего числа обусловлены?

Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число 142 857 не что иное, как седьмая часть 999 999; и, следовательно, дробь 142857/999999 = 1/7. Действительно, если станете превращать ¹/₇ в десятичную дробь, вы получите:

Наше загадочное число есть период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении ¹/₇ в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным ²/₇ и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не ¹/₇, а ²/₇. Начав же превращать дробь ²/₇ в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 — один из тех остатков, которые у нас уже получались при превращении ¹/₇; ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но начнется он с другой цифры. Иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, то-есть на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить единицу, или — что то же самое — 0,9999…