Занимательная электроника

Рис. 13.7.Проведение аппроксимирующей прямой по экспериментальным данным

Разумно было бы проводить кривую (в данном случае — прямую) так, чтобы отклонения Δу_i,- были бы минимальными в каждой точке. Однако просто минимизировать сумму отклонений не получится — они имеют разный знак, и минимум получился бы при очень больших отрицательных отклонениях. Можно минимизировать сумму абсолютных значений отклонений, однако это неудобно по ряду чисто математических причин, потому используют уже знакомую нам сумму квадратов отклонений, — только ранее это было отклонение от среднего арифметического одной величины х, а теперь это отклонение опытных данных от кривой у(х):

Такой метод называется методом наименьших квадратов.

Кстати, а какую именно кривую выбрать? Ведь кривые бывают разные: прямая, парабола, экспонента, синусоида… Опыт показывает, что на практике можно ограничиться полиномом, соответствующим разложению функции в ряд Тейлора (в математике доказывается, что любую другую непрерывную функцию всегда можно представить в виде такого ряда):

(5)

Это уравнение называется уравнением регрессии. Отметим, что здесь мы рассматриваем наипростейший случай — зависимость у от одного параметра x. В общем случае независимых переменных может быть несколько, но для наших целей простейшего случая достаточно. Еще отметим, что величины x_i считаются неслучайными — если в каждой i-й точке проводится несколько измерений, то надо брать среднее. Случайными считаются только величины y.

Итак, в качестве исходных данных у нас имеется некий набор значений x_i в количестве n штук. Надо провести кривую, соответствующую уравнению (5), так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна:

(6)

Какой степени полином должен быть? Из элементарной геометрии известно, что через две точки можно провести прямую (полином первой степени), через три — параболу (второй степени) и т. д., т. е. максимально возможная степень полинома на единицу меньше, чем число экспериментальных данных. Однако через две точки можно провести только одну прямую, и мы никогда не сможем оценить погрешностей — т. е. узнать, насколько наша прямая отличается от того, что имеет место в действительности. Поэтому чем избыток точек больше, тем лучше (в идеале необходимы те же 15–20 точек, но на практике для линейной зависимости можно обойтись и тремя-пятью точками). Оптимальную же степень определяют так: строят несколько полиномов разной степени и смотрят на среднеквадратическое отклонение. Когда оно с увеличением степени полинома перестанет уменьшаться (или это уменьшение незначительно), то нужная степень достигнута.

Я не буду здесь вдаваться в подробности реализации метода наименьших квадратов — это бессмысленно, т. к. его обычно реализуют в виде готовой программы. Такую программу под названием RegrStat вы можете скачать с моей домашней странички по адресу http://revich.lib.ru из раздела Программы. Умеет строить простейшие регрессионные зависимости и Microsoft Excel, причем в том числе и как функцию от многих переменных, но только первого порядка (линейные полиномы). Ну, и конечно, существует множество специальных программных пакетов для этой цели.

Разновидности погрешностей

Мы в предыдущем изложении часто упоминали понятие погрешности, приводя его то в процентах, то в абсолютных величинах. Систематизируем эти представления и определим следующие три вида погрешностей:

□ абсолютная погрешность — в единицах измеряемой величины;

□ относительная погрешность — абсолютная, но выраженная в процентах от значения измеряемой величины;

□ относительная приведенная погрешность — абсолютная, но выраженная в процентах либо долях от всего диапазона измерений.

Последняя величина, если она соответствует стандартному ряду (например, 1,0; 0,75; 0,5; 0,25; 0,1 и т. п.), еще называется классом точности и обычно указывается в технических описаниях приборов.

При определении относительной приведенной погрешности учитывают все ошибки (их абсолютные значения): и случайную, и аддитивную, и мультипликативную погрешности. Причем в последнем случае за величину погрешности принимают значение мультипликативной погрешности в конце шкалы — ведь она зависит от измеряемой величины. Отсюда видно, что если мультипликативная погрешность доминирует, то выгоднее как можно больше «ужимать» диапазон измеряемых значений. С другой стороны, аддитивная и случайная погрешности от диапазона не зависят, и уменьшение его приведет к тому, что их вклад увеличится, — в частности, именно поэтому мы старались в схеме на рис. 13.4 «раздуть» выходное напряжение ОУ до максимума, ограничивая максимальный ток значением резистора R7, а не величиной напряжения.