Занимательная электроника

В теории вероятностей доказывается, что при некоторых предположениях относительно вероятности конкретных исходов нашего события эта кривая будет иметь совершенно определенный вид, который называется нормальным распределением вероятностей или распределением Гаусса. Вид кривой плотности нормального распределения и соответствующая формула показаны на рис. 13.6.

Рис. 13.6.Плотность нормального распределения вероятностей

Далее мы поясним смысл отдельных параметров в этой формуле, а пока ответим на вопрос: действительно ли реальные события, в частности интересующие нас ошибки измерений, всегда имеют нормальное распределение? Строгого ответа на этот вопрос в общем случае нет, и вот по какой причине. Математики имеют дело с абстракциями, считая, что мы уже имеем сколь угодно большой набор отдельных реализаций события (в случае с автобусом это была бы бесконечная таблица пар значений «плотность вероятности — время»). В реальной жизни такой ряд невозможно получить не только потому, что для этого потребовалось бы бесконечно долго стоять около остановки и отмечать моменты отправления, но и потому, что стройная картина непрерывного ряда реализаций одного события (прихода конкретного автобуса) будет в конце концов нарушена совершенно не относящимися к делу вещами: маршрут могут отменить, остановку перенести, автопарк обанкротится, не выдержав конкуренции с маршрутными такси… да мало ли что может произойти такого, что сделает бессмысленным само определение события.

Однако все же интуитивно понятно, что, пока автобус ходит, какое-то, пусть теоретическое, распределение имеется. Такой идеальный бесконечный набор реализаций данного события носит название генеральной совокупности. Именно генеральная совокупность при некоторых условиях может иметь, в частности, нормальное распределение. В реальности же мы имеем дело с выборкой из этой генеральной совокупности. Причем одна из важнейших задач, решаемых в математической статистике, состоит в том, чтобы, имея на руках две разные выборки, доказать, что они принадлежат одной и той же генеральной совокупности — проще говоря, что перед нами есть реализации одного и того же события. Другая важнейшая для практики задача состоит в том, чтобы по выборке определить вид кривой распределения и ее параметры.

На свете сколько угодно случайных событий и процессов, имеющих распределение, совершенно отличное от нормального, однако считается (и доказывается с помощью так называемой центральной предельной теоремы), что в интересующей нас области ошибок измерений, при большом числе измерений и истинно случайном их характере, все распределения ошибок — нормальные. Предположение о большом числе измерений не слишком жесткое — реально достаточно полутора-двух десятков измерений, чтобы все теоретические соотношения с большой степенью точности соблюдались на практике. А вот про истинную случайность ошибки каждого из измерений можно говорить с изрядной долей условности — неслучайными их может сделать одно только желание экспериментатора побыстрее закончить рабочий день. Но математика тут уже бессильна.

Полученные опытным путем характеристики распределения называются оценками параметров, и, естественно, они будут соответствовать «настоящим» значениям с некоторой долей вероятности — наша задача и состоит в том, чтобы определить интервал, в котором могут находиться отклонения оценок от «истинного» значения, и соответствующую ему вероятность. Но настало время все же пояснить — что же это за параметры?

В формуле на рис. 13.6 таких параметра два: величины μ и σ. Они называются моментами нормального распределения (аналогично моментам распределения масс в механике). Параметр μ называется математическим ожиданием (или моментом распределения первого порядка), а величина σ — средним квадратическим отклонением. Нередко употребляют его квадрат, обозначаемый как D или просто σ², и носящий название дисперсии (или центрального момента второго порядка).

Математическое ожидание есть абсцисса максимума кривой нормального распределения (в нашем примере с автобусом — это время 10:15), а дисперсия, как видно из рис. 13.6, характеризует «размытие» кривой относительно этого максимума — чем больше дисперсия, тем положе кривая. Эти моменты имеют прозрачный физический смысл (вспомните аналогию с физическим распределением плотностей): математическое ожидание есть аналогия центра масс некоего тела, а дисперсия характеризует распределение масс относительно этого центра (хотя распределение плотности материи в физическом теле далеко от нормального распределения плотности вероятности).

Оценкой m_х математического ожидания μ служит хорошо знакомое нам со школы среднее арифметическое:

(2)

Здесь n — число измерений; i — текущий номер измерения (i = 1….,n); x_i — значение измеряемой величины в i-м случае.

Оценка s² дисперсии σ² вычисляется по формуле:

(3)