Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Если исходить из этого описания, то для того, чтобы нарисовать фазовый портрет, нам нужно знать решения – или, по крайней мере, их численные приближения. Пуанкаре открыл, что некоторые свойства решений можно определить топологически. К примеру, если у системы есть периодическое решение – такое решение, которое снова и снова повторяет одну и ту же последовательную цепочку состояний, – то траектория представляет собой замкнутую петлю и решение просто ходит по ней кругами, как белка в колесе. Топологически любую петлю можно превратить в окружность, так что задача упрощается и сводится к топологическим свойствам окружностей. Присутствие петли иногда можно распознать, рассмотрев сечение Пуанкаре. Это поверхность, рассекающая поперек пучок траекторий. Взяв любую точку этого сечения, мы следуем по ее траектории до того момента, когда (если это произойдет) она вновь дойдет до этого сечения. Таким образом мы получим отображение поверхности на саму себя – отображение Пуанкаре, или отображение «первого возврата». Если сечение рассекает периодическую траекторию, то она, обойдя круг, возвращается в ту же точку, а соответствующая точка на отображении Пуанкаре остается на месте.

Предположим, в частности, что сечение представляет собой диск, шар или аналогичную фигуру с бо́льшим числом измерений и что мы можем показать, что образ сечения, полученный в результате преобразования Пуанкаре, укладывается внутрь того же сечения. Тогда мы можем воспользоваться топологической теоремой, известной как теорема Брауэра о неподвижной точке, и заключить, что какая-то неподвижная точка в этой системе должна существовать; это будет означать, что дифференциальное уравнение имеет периодическое решение, проходящее через данное сечение. Пуанкаре предложил целый ряд подобных методик и сформулировал общую гипотезу о долговременном поведении траекторий (решений) для дифференциальных уравнений с двумя переменными. А именно: траектория может сойтись к точке, к замкнутой петле или к гетероклинному циклу – петле, образованной траекториями, которые соединяют между собой конечное число неподвижных точек. Эту гипотезу доказал в 1901 г. Ивар Бендиксон, и результат теперь известен как теорема Пуанкаре – Бендиксона.

* * *

Вывод Пуанкаре о том, что топологические методы позволяют сделать глубокие выводы о решениях дифференциальных уравнений даже в тех случаях, когда формул для этих решений не существует, составляет основу сегодняшнего подхода к нелинейной динамике, которая находит применение едва ли не во всех областях естественных наук. Этот вывод привел Пуанкаре к еще одному эпическому открытию: он открыл хаос, ставший одним из крупнейших триумфов топологической динамики. Контекстом для этого открытия было движение нескольких тел под действием Ньютоновой гравитации – иначе говоря, задача многих тел.

Иоганн Кеплер из наблюдений Марса заключил, что орбита одиночной планеты, обращающейся вокруг Солнца, представляет собой эллипс. Ньютон объяснил этот геометрический факт в рамках своего Закона всемирного тяготения: любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. В принципе, Ньютонов закон предсказывает движение любого числа взаимно притягивающихся тел, таких как планеты Солнечной системы. К несчастью, Закон всемирного тяготения не предсказывает движение тел непосредственно: он позволяет записать дифференциальное уравнение, решение которого дает положение тел в любой момент времени. Ньютон обнаружил, что для двух тел это уравнение решаемо, и результатом решения является Кеплеров эллипс. Но для трех и более тел никаких аккуратных решений подобного рода не просматривалось, и математикам, работавшим в области небесной механики, приходилось прибегать к особым приемам и приближениям.

В 1889 г. исполнилось 60 лет Оскару II, королю Швеции и Норвегии, которые в то время составляли единое государство. В честь юбилея король объявил приз за решение задачи многих тел; тему королю предложил Миттаг-Леффлер. Ответ следовало дать не в виде простой формулы, которой почти наверняка не существовало, но в виде сходящегося бесконечного ряда. Тогда, чтобы решить задачу со сколь угодно высокой точностью, достаточно было бы всего лишь вычислить нужное число членов ряда.