Знание-сила, 2006 № 11 (953)

Вообще-то главная проблема, над которой бьешься — зачем мы вообще учим студентов. В идеале нужно, чтобы ответ на этот вопрос давало государство или общество в целом. Все- таки хочется верить, что мы не просто растим себе смену, чтобы умение заниматься наукой не пресеклось с нашим поколением. Надеешься, что это еще кому-то и зачем-то нужно и хочешь соотнести стратегию обучения с этим запросом. Но страна на этот вопрос ответа не дает. После некоторых размышлений понимаешь, что она так просто этого ответа дать и не может. Ну не ждешь же ты, в самом деле, что этот ответ прозвучит как откровение из интервью президента. Он как-то должен быть подготовлен в самом обществе. Отчасти поэтому я и пишу эти размышления.

Потом ты переходишь к более конкретным мыслям и смотришь, что советует имеющаяся научно-педагогическая традиция. Ну, здесь ответ имеется: "Главное — не сумма знаний. Главное — научить учиться. Студент не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь!" Кто будет с этим спорить...

Но что же значат эти мудрые слова конкретно? Очевидно, нужно не просто натаскивать студентов на решение заковыристых задач, а лучше рассказать им, как в целом устроена та математическая теория (математический анализ), с которой я их должен познакомить. Какие в ней тенденции, как смотрели на эту науку раньше, как на нее смотрят теперь, что ожидается в будущем. Какие здесь есть сомнения и проблемы. Нужно объяснить, почему один автор учебника делает акцент на одной стороне вопроса, а другой — на иной. Тогда, наверное, хороший студент сможет сам вычитать детали и книг, а плохому они и не понадобятся.

Это—хорошие намерения, но задачи-то нужно уметь решать или нет? Ведь теория выросла из решения задач и нужна для того, чтобы их решать. Может быть, лучше поменьше говорить об обших вопросах, а решить побольше задач и объяснить на примерах, как нужно подходить к разным конкретным вопросам? Нужно ли доказывать все те теоремы, которые есть в курсе, или достаточно доказать только некоторые, научить студентов, как вообще доказывают теоремы, а деталей не надо. Опять же, хорошие студенты прочитают доказательства в книгах, а плохим все равно ничего не поможет.

Лекция в университете. Миниатюра из книги XIV вена

Конечно, обе крайности вредны, но мне ближе первая точка зрения. Я — представитель традиционной школы математического образования. Мне кажется странным не объяснять студенту, что такое интеграл, а сказать скороговоркой, что интеграл — это площадь под кривой и нечего тут особенно обсуждать, а давайте порешаем задачи. Вместо этого я не жалею времени на рассказ о том, что впервые понятие интеграла (ну конечно, как площади под кривой) начало формироваться у Архимеда. Из идей Архимеда выросло то, что называется определенным интегралом. Его четко описал в XIX веке немецкий ученый Б.Риман, а в начале XX века эту конструкцию кардинально улучшил французский ученый А. Лебег[* Неплохо написать их фамилии Riemann и Lebesgue па доске, а также объяснить, почему в написании латиницей инициал у Лебега Н, а не А, как можно было бы подумать. Вообще, занятия физикой и математикой способствуют расширению кругозора в иностранных языках.]. Для хороших студентов лучше хоть как-то объяснить, в чем разница между этими конструкциями (Риман подсчитывал площадь вертикальных столбиков, вписанных в график интегрируемой функции, а Лебег — горизонтальных и так оказалось гораздо лучше). Здесь место рассказать о том, что про определенный и итеграл можно доказать полезные и интересные теоремы, например, о том, что все приличные (непрерывные) функции интегрируемы, а плохие функции бывают и неинтегрируемыми. Для этих доказательств нужна достаточно развитая теория, она называется, по имени ее автора, теорией сумм Дарбу. Я, конечно, понимаю, что для студента, который будет физиком-экспериментатором, эта теория сложновата. Я думаю, что этому горю можно помочь путем разумного построения экзамена, на котором будут спрашивать про все, вошедшее в курс, но в разной мере. Зато по дороге выплывут понятия верхнего и нижнего интегралов Дарбу, которые настоящими интегралами не являются, зато полезны для доказательства теорем. Здесь, конечно, нужно вспомнить ученика Конфуция Гуньсунь Луня, который в древнем Китае размышлял о том, является ли белая лошадь лошадью (он опасался, что признак белизны примешивается к признаку лошадности и портит его). Жалко, конечно, Гуньсунь Луня, который потратил свою жизнь на эти размышления, но в излагаемой теории мы как раз и встречаемся с подобной же фигурой мысли!