Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Второй способ построения «золотого» циркуля более сложен, но более точен, так как позволяет работать и с крайним, и со средним отношением одновременно. Нам потребуются четыре узких полоски 1 см в ширину. Две из них длиной 34 см, одна — 21 см, а четвертая — 13 см. Проделаем два отверстия в каждой из них: одно на конце полоски, а второе — на расстоянии 13 см, как на рисунке справа. Затем мы соединим полоски как показано на рисунке.

У нас получились следующие отрезки:

AF = АН = 34 см

BG = 21 см

АВ = АС = ВЕ = СЕ = 13 см

EG = 8 см.

Все эти числа — члены последовательности Фибоначчи. При работе с циркулем отношение FG к GH всегда будет очень близко к Ф. Если мы поставим ножки циркуля F и Н на концы отрезка (до 68 см в длину), точка G покажет место, где отрезок делится на две части М, m, такие, что М/m = Ф.

Построение «золотого» прямоугольника

Теперь наша задача будет гораздо проще. Для построения «золотого» прямоугольника мы используем все свойства, о которых говорилось выше.

Начнем с квадрата АВCD, чья сторона будет шириной «золотого» прямоугольника, который мы будем строить. Отметим точку М — середину стороны АВ. Проведем дугу окружности с центром в точке М и радиусом МС (расстояние от М до одной из противоположных вершин). Эта дуга пересекается с продолжением отрезка АВ. Обозначим это пересечение точкой Е. Тогда длина отрезка АЕ является длиной искомого «золотого» прямоугольника. Нам осталось только провести перпендикуляр из точки E, который пересекает продолжение отрезка DC в точке F. Таким образом, мы построили «золотой» прямоугольник AEFD.

Давайте найдем длины сторон «золотого» прямоугольника, который мы построили, чтобы проверить «золотое» сечение. Предположим, что АВ = AD = 1, тогда АЕ = AM + ME = 1/2 + ME. Так как ME равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника MBС, по теореме Пифагора мы имеем:

ME² = МС² = MB² + ВС² = (1/2)² + 1² = 1/4 + 1 = 5/4.

Откуда

ME = √(5/4) = (√5)/2.

Следовательно:

AE = (1/2) + (√5)/2 = (1 + √5)/2 = Ф.

Это значит, что стороны прямоугольника AEFD равны 1 и Ф.То есть наш прямоугольник действительно является «золотым».

Свойства «золотого» прямоугольника

Если отрезать от нашего «золотого» прямоугольника квадрат, то останется прямоугольник BEFC, который также является «золотым». Проведя диагонали в двух «золотых» прямоугольниках, мы увидим, что они всегда пересекаются под прямым углом. Это справедливо как для пары AF и СE, так и для пары DE и BF (диагонали в каждой паре перпендикулярны друг к другу).

Мы видим это на следующих рисунках:

Если мы продолжим отрезать квадраты от каждого следующего «золотого» прямоугольника и каждый раз будем проводить диагонали, как на рисунке выше, мы увидим, что все получившиеся диагонали будут лежать на одной из пересекающихся под прямым углом диагоналей. Таким образом, они всегда будут перпендикулярны, а точка их пересечения всегда будет одной и той же точкой О.

Если бы мы могли использовать микроскоп, чтобы увидеть все прямоугольники, которые могут быть образованы путем удаления квадратов, мы бы заметили, что точка пересечения их диагоналей всегда одна и та же, хотя мы уменьшаем размер прямоугольника в Ф раз. Это невероятное свойство характерно для «золотого» прямоугольника. Точка О является своего рода геометрической черной дырой, точкой притяжения, куда уходит бесконечная последовательность «золотых» прямоугольников.

Если мы впишем в окружность правильный десятиугольник (многоугольник с десятью равными сторонами, углы которого также равны), отношение между радиусом и стороной многоугольника будет точно Ф.

Следовательно, мы можем сказать, что длина «золотого» прямоугольника является радиусом окружности, а ширина равна стороне правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность. В третьей главе мы подробно рассмотрим это соотношение.