Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ПРАВИЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все углы равны. Лишь одного из этих условий недостаточно. Ромб, например, имеет равные стороны, но его углы не равны, поэтому он не является правильным многоугольником. Из всех четырехсторонних многоугольников только квадрат является правильным. Прямоугольник имеет четыре равных угла по 90°, но стороны разной длины, поэтому он также не является правильным многоугольником.

Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Если это правильный многоугольник с n сторонами, мы можем построить равнобедренный треугольник, соединив центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Две равные стороны треугольника будут радиусами окружности. Третья сторона треугольника имеет ту же длину, что и у сторон многоугольника. Неравный угол треугольника (также называемый центральным углом) равен (360/n)°.

Другие замечательные прямоугольники

Как мы видели на странице 51, прямоугольники телеэкранов (4:3 и 16:9) замечательны тем, что часто встречаются в нашей повседневной жизни. Теперь рассмотрим другие прямоугольники, с которыми мы сталкиваемся каждый день, и сравним их с «золотыми» прямоугольниками, чтобы еще раз подчеркнуть уникальность прямоугольников с форматным отношением Ф.

Прямоугольник с отношением √2

Построим квадрат ABCD со стороной 1. Затем проведем дугу окружности с центром в одной из вершин квадрата (в этом примере в точке А) и радиусом, равным расстоянию между этой вершиной и противоположной (АС). Дуга пересекает продолжение отрезка АВ в точке Е. Длина отрезка АЕ, будучи равной длине диагонали квадрата 1x1, равна √2, и, следовательно, прямоугольник, который мы построили, имеет стороны 1 и √2. Далее мы будем называть прямоугольники этого типа прямоугольниками с отношением √2 (так как отношение между сторонами √2 и 1 равно √2).

Характерным свойством прямоугольников с отношением √2 является следующий факт. Если мы разделим большую сторону прямоугольника пополам, мы получим еще один прямоугольник с отношением √2, по площади в два раза меньший. Стороны нового прямоугольника имеют длины 1 и √2/2, и отношение этих длин снова равно √2.

В самом деле, 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Гномоном прямоугольника с отношением √2 является тоже прямоугольник с отношением √2.

Этот процесс можно повторять бесчисленное количество раз, получая новые прямоугольники с отношением √2. Тот же самый итог выходит в результате удвоения меньшей стороны прямоугольника с отношением √2: мы снова получим прямоугольник с отношением √2. На следующем рисунке показан результат различных итераций.

Это свойство прямоугольника с отношением √2 используется при выборе размеров бумаги для европейских канцелярских принадлежностей: так называемый стандарт DIN. Это аббревиатура от Deutsches Institut fur Normung (Германский институт стандартизации), который в 1922 г. ввел этот стандарт, разработанный инженером Вальтером Порстманом.

Размеры начинаются с самого крупного АО, представляющего собой прямоугольник с отношением √2 площадью один квадратный метр. Каждый следующий размер обозначается номерами (A1, А2, А3, А4…) и имеет форму прямоугольника с отношением √2. Лист бумаги каждого следующего размера получается простым делением пополам.

В терминах вписанных многоугольников ширина прямоугольника с отношением √2 является радиусом окружности, а длина — стороной квадрата, вписанного в нее. Например, если радиус равен единице, то длина стороны вписанного квадрата равна √2. Фундаменты зданий часто имеют форму прямоугольника с отношением √2.

Серебряный прямоугольник