Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Мы еще не исчерпали все возможности спирали. По правде говоря, мы только начали знакомство с ней. Позже мы найдем ее в «золотых» треугольниках, а также во многих красивых природных объектах.

Глава 3 Золотое сечение и пятиугольник

Ассирийцы рисовали пятиугольники самым обычным образом: раздвинув пальцы кисти руки и оставляя отпечатки пальцев на глине. Затем эти точки соединялись отрезками. Такие изображения часто встречаются на глиняных табличках. Однако построение пятиугольников было серьезной задачей для древних греков. По их мнению, единственным точным методом построения геометрических фигур было использование циркуля и линейки, но этих инструментов оказалось недостаточно, чтобы начертить правильный пятиугольник.

Правильный пятиугольник

Использование циркуля и линейки для геометрических построений, как это делали еще древние греки, является очень ограниченным методом. И некоторые ограничения представляются довольно причудливыми. Метод включает в себя рисование точек, прямых (или их отрезков) и частей окружности (или дуг) с использованием лишь циркуля и линейки неопределенной длины, без делений на ней. С помощью этих инструментов можно разделить отрезок пополам (провести перпендикуляр через его середину), построить биссектрису угла, найти точку, симметричную данной относительно другой, провести параллельную прямую или перпендикуляр в данной точке, а также найти проекцию точки на прямую линию. Также можно разделить любой отрезок на заданное число равных частей.

Однако существует ряд классических задач, известных тем, что они не могут быть решены лишь с помощью линейки и циркуля. Например, квадратура круга (построение квадрата с той же площадью, что и у данного круга), удвоение куба (построение куба, который имеет в два раза больший объем, чем данный куб с известной стороной) или деление угла на три равные части. Кроме того, невозможно построить некоторые правильные многоугольники, используя только циркуль и линейку, например, семиугольник и пятиугольник.

Тем не менее, правильный пятиугольник может быть построен с помощью линейки и циркуля с использованием Ф. Таким образом, число Ф внесло свой вклад в решение классических задач эпохи.

К. Ф. ГАУСС (1777–1855)

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс является одним из величайших научных деятелей. После смерти он был удостоен почетного титула «принц математиков». Он решил специализироваться на математике несмотря на то, что делал большие успехи и в других областях. На решение Гаусса частично повлияло его открытие метода построения правильного 17-угольника с помощью линейки и циркуля. Гаусс сделал это в возрасте 18 лет, и это стало ключевым моментом не только его карьеры, но и всей будущей математики.

* * *

Рассмотрим правильный пятиугольник, в котором проведены диагонали.

Остановимся на треугольнике BED, одном из трех равнобедренных треугольников. Длина его равных сторон BE = BD равна е, длине диагонали пятиугольника (стороне пятиконечной звезды). Кроме того, сторона ED является стороной пятиугольника р, которую мы возьмем равной единице: р = 1. Теперь проверим, что выполняется соотношение EB/ED = е/р = е/1= Ф и, следовательно, мы имеем золотое сечение. Другими словами, е = Ф.

ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ИЗ ПОЛОСКИ БУМАГИ

Несмотря на все ограничения, существует простои способ построения правильного пятиугольника, если только мы не стремимся к абсолютной точности. Надо взять полоску бумаги и завязать ее в узел. В результате получится правильный пятиугольник. Посмотрите внимательно на рисунок. Стороны полученного правильного пятиугольника ABCDE лежат на гипотенузе одинаковых треугольников, больший катет которых имеет ширину полоски.

* * *

Деля угол D пополам, мы получим треугольник DEF. Он имеет такие же углы, что и BED, следовательно, эти треугольники подобны. Отсюда следует, что

EB/ED = ED/EF. (1)

Так как ED = FD = FB = 1 и EF = ЕВ — 1, подставляя в (1), получим:

ЕВ/1 = 1/(ЕВ-1)

ЕВ² — ЕВ = 1

ЕВ² — ЕВ -1 = 0

ЕВ = (1 + √5)/2 = Ф