Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ТЕОРЕМА МОРЛИ

Эта теорема необычна тем, что она не была известна древним грекам, хотя те открыли большинство свойств треугольника еще 2000 лет назад. Теореме чуть более ста лет. Фрэнк Морли (1860–1937) доказал ее в 1904 г., но опубликована она была лишь 20 лет спустя. Теорема Морли заключается в следующем: если мы разделим внутренние углы любого треугольника на три равные части, проведя по две прямые линии из каждого угла, то шесть линий пересекутся, образуя три точки, которые всегда являются вершинами равностороннего треугольника. Независимо от того, каким был исходный треугольник, мы всегда получим равносторонний треугольник как результат пересечения трисектрис.

Равносторонний треугольник FED является треугольником Морли.

* * *

Таким образом, мы доказали, что отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно Ф.

Но у звезды пятиугольника имеются и другие связи с золотым сечением. Давайте посмотрим на пятиугольник и на треугольники, которые появляются, когда мы проводим диагонали. Мы видим только три разных угла: 36°, 72° и 108°. Кроме того, так как 72 — это два раза по 36, а 108 — это три раза по 36, то все углы являются кратными 36°.

Мы видим много равнобедренных треугольников, но среди них только три разных типа: треугольники ABE, АВР и AFC. Все остальные подобны одному из них. Кроме того, мы видим только четыре отрезка различной длины. Назовем их BE = а, АВ = АЕ = b, AF = BF = AG = с и GF = d, так что a > b > с > d.

К каждому из этих треугольников мы применим теорему синусов, которая утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. В треугольнике АВЕ:

a/sin 108° = b/sin 36°; a/b = sin 108/sin 36°

В треугольнике ABF:

b/sin 108° = c/sin 36°; b/c = sin 108/sin 36°

И, наконец, в треугольнике AFC:

c/sin 72° = d/sin 36°; c/d = sin 72°/sin 36°= sin 108°/sin 36°

Так как 72° = 180° — 108°, и синусы дополнительных углов равны, мы имеем, что sin 72° = sin 108°.

Таким образом, мы установили следующее соотношение:

a/b = b/c = c/d =1,618033988…

С помощью тригонометрии мы доказали, что для четырех отрезков, расположенных от большего к меньшему, отношение длины каждого из них к длине следующего за ним постоянно и равно золотому сечению.

Мы можем получить это соотношение по-другому, начиная с первого из равенств, используя то, что с = а — Ь, и учитывая, что стороны пятиугольника одинаковы, т. е. b = 1.

a/b = b/c — > a/b = b/(a — b) — > a/1 = 1/(a — 1) — > a² — a -1 = 0 — > a = (1 + √5)/2

Таким образом, мы видим, что отношение длин двух последовательных отрезков равно золотому сечению.

«Золотой» треугольник

Как мы только что видели, пятиугольник и его диагонали образуют два типа равнобедренных треугольников. Первый имеет углы 36°, 36° и 108°, а второй — 36°, 72° и 72°. В обоих случаях отношение длины большей стороны к меньшей равно Ф. Поэтому их называют «золотыми» треугольниками. Иногда название дается по типу: треугольник с углами 36°, 72° и 72° называется «золотым» треугольником, а треугольник с углами 36°, 36° и 108° называется «золотым» гномоном. Мы не будем выделять это различие.

При проведении диагоналей в правильном пятиугольнике получается еще один правильный пятиугольник в центре, окруженный «золотыми» треугольниками. Кроме того, лучи звезды также являются «золотыми» треугольниками.

С помощью «золотого» треугольника можно построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку. Возьмем отрезок длиной 1, который разделим в золотой пропорции (как в предыдущей главе), выделив часть длиной х. Затем мы построим «золотой» треугольник со сторонами х и 1. Проведем окружность радиуса 1 с центром в вершине угла 36° (который лежит напротив стороны х). Десятиугольник, вписанный в окружность, имеет стороны длины х. После того как мы построили десятиугольник, мы соединим его вершины через одну. Таким образом, мы построим правильный пятиугольник.

Тот же метод может быть использован для построения правильного десятиугольника. Геометры Древней Греции таким образом упражнялись, демонстрируя математические возможности золотого сечения.

При таком построении стороны «золотого» треугольника равны стороне правильного десятиугольника, вписанного в круг, и радиусу этого круга.