Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Мы нашли необходимое условие для покрытия равными многоугольниками: сумма углов должна быть 360°. Другими словами, угол правильного многоугольника должен быть делителем 360°. У каких многоугольников есть такие углы? Только у правильного шестиугольника, правильного треугольника и квадрата. Это единственные правильные многоугольники, которые можно использовать в качестве плитки. Так как шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников, можно сказать, что существует только две возможности заполнить поверхность правильными многоугольниками: квадратные и треугольные плитки. Именно они и используются чаще всего, мы видим их вокруг — на полу и на стенах.

Однако пятиугольники не совсем бесполезны для наших целей. По правде говоря, плитка может быть и в форме пятиугольников, если только они не являются правильными. Например, пятиугольник, образованный квадратом и равносторонним треугольником, лучше всего можно представить в виде открытого конверта. Этот многоугольник является равносторонним — все его стороны одной и той же длины — но углы его не равны. Существует еще 13 видов других неправильных многоугольников, которые также могут быть использованы в качестве плитки. Причина, по которой они редко используются на практике, кроется, вероятно, в их не эстетичности. Хотя форма их геометрически корректна.

Альгамбра — дворец времен династии Насридов, правившей Гранадским эмиратом в южной Испании до его завоевания христианами в 1492 г. Это впечатляющий памятник архитектуры и одна из самых посещаемых достопримечательностей в мире. Если внимательно изучить архитектуру дворца, мы увидим, что в ее основе лежат простые правила.

Покажем это на трех типах мозаики. Именно мозаичная плитка и ее повторяющиеся узоры приводят к удивительным результатам. Искусство мавританских художников породило сложные мозаики, которые мы видим вокруг нас.

Первый тип мозаики в Альгамбре называется «кость» или «насридская кость». На рисунке ниже можно увидеть, как она выполняется и какие узоры получаются.

В данном квадрате проведем диагонали, затем разделим основание квадрата на четыре равные части и через эти точки проведем вертикальные линии. Наконец, извлечем полученные трапеции и поместим их над верхней и под нижней сторонами квадрата.

Второй тип — «птичка» — получается из треугольных узоров и часто используется во многих современных мозаиках.

Возьмем равносторонний треугольник и проведем дуги от вершины до середины каждой стороны. Вынем эти сегменты и поместим их на внешней стороне исходного треугольника.

Третий тип мозаики довольно необычен. За основу берутся квадратные плитки, и получается узор в виде «гвоздей».

Внутри квадрата построим два прямоугольных треугольника, гипотенузы которых являются сторонами квадрата. Затем извлечем треугольники и поместим их с внешней стороны смежных сторон.

Другие замечательные примеры математических мозаик в искусстве в изобилии встречаются в творчестве нидерландского художника Эшера. Он родился на рубеже XIX и XX веков и уже в юности использовал математику в своих работах. Однако его интерес к мозаике проявился после поездки в Альгамбру в 1936 г.

Эта мозаика Эшера использует два узора в виде птиц, которые хотя и не являются геометрическими фигурами, тем не менее заполняют поверхность не оставляя зазоров.

До сих пор мы видели мозаичные узоры (треугольные и квадратные), использующие только один вид плитки, но можно также построить полуправильные мозаики, в которых узором является пара правильных многоугольников, отличающихся друг от друга. Как и прежде, единственное условие — чтобы углы в сумме давали 360°.

Многие дизайны используют повторяющиеся узоры, чтобы покрыть поверхность не оставляя зазоров. Такие узоры встречаются на рисунках на керамике, на решетках окон, на тротуарах и тканях. Они часто используются при вязании, плетении и вышивке.

Узоры на перилах, тканях и в мозаике, как правило, используют повторяющиеся мотивы, чтобы заполнить поверхность. Такие узоры обычно имеют геометрические формы.