Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

ЗОЛОТОЕ ГО

Пентальфа, Золотая Звезда, Золотое Го, Грифы и Вороны — лишь несколько из тысяч игр, использующих доску в форме пятиконечной звезды или пентаграммы. Хотя эти игры древние, во многие из них играют и сегодня, и не так трудно найти описание их правил.

Мы рассмотрим правила Пентальфы из-за ее важного исторического значения и правила Золотого Го из-за особой связи с нашей темой. Пентальфа — это головоломка для одного игрока, который передвигает фишки с целью разместить девять штук в вершинах пентаграммы: на концах звезды и в пересечениях, которые образуют пятиугольник. Так как таких вершин десять, одна всегда будет оставаться свободной. Фишки перемещаются на три положения за один ход. Первый шаг: мы помещаем фишку в любую свободную вершину; второй шаг: передвигаем фишку на вторую вершину какой-либо линии (не имеет значения, занята эта вершина или свободна); третий шаг: передвигаем фишку на третью вершину этой линии (эта вершина должна быть свободна). Чем больше заполняется доска, тем больше усложняется задача.

В Золотом Го мы также используем девять фишек. Они размещаются в вершинах доски, оставляя одну свободной. Каждый игрок, делая ход по очереди, захватывает фишки, как при игре в шашки: прыгая одной фишкой через другую на пустое место за ней. Победителем становится игрок, который захватывает последнюю фишку, оставив на доске только одну.

МОЗАИКИ С «ВОЗДУШНЫМИ ЗМЕЯМИ» И «ДРОТИКАМИ»

Существует множество примеров апериодических мозаик, построенных с использованием «воздушных змеев» и «дротиков», придуманных сэром Роджером Пенроузом. Вот некоторые из них.

* * *

Конечно, за первый ход первый игрок не может взять всю кучку. Во время каждого следующего хода игроки могут брать, сколько захотят, соблюдая следующие правила игры:

• за каждый ход игрок должен брать по крайней мере одну фишку;

• каждый игрок не может брать более, чем удвоенное количество фишек, взятых его противником в предыдущем ходу. (Если один берет четыре фишки, другой в свою очередь может взять максимум восемь.)

Математический аспект игры заключается в том, что если число N представляет собой число из последовательности Фибоначчи, то второй игрок должен всегда побеждать, если следует правильной стратегии, а если N — любое другое число, то победить должен первый игрок.

Многогранники и золотое сечение

Многогранники — это геометрические тела, каждая грань которых представляет собой многоугольник. Далее подразумевается, что мы всегда рассматриваем выпуклый многогранник — то есть такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Для выпуклого многогранника с числом граней F, числом ребер Е и числом вершин V всегда справедливо соотношение, известное как теорема Эйлера:

F + V = E + 2.

Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками и из каждой вершины выходит одинаковое количество ребер. Без второго условия мы можем получить многогранник с вершинами с тремя и четырьмя ребрами, как на следующем рисунке:

Кристаллы пирита часто имеют форму правильных двенадцатигранников. Опять же, как мы видим, правильные многогранники в изобилии встречаются в природе.