Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

СОЗДАЙТЕ СОБСТВЕННУЮ МОЗАИКУ

Придумать узоры мозаик, подобные мозаикам дворца Альгамбры, очень сложно, но это может быть интересным упражнением. Недостаточно просто придумать красивый дизайн; любая мозаика основана на математике. Эти примеры могут вдохновить вас на собственные идеи.

Мозаика Пенроуза

Апериодические мозаики содержат более одного узора, которыми заполняется вся поверхность. Казалось бы, разработка дизайна апериодической мозаики является очень сложной задачей или, по крайней мере, потребует использования многих форм плитки. До 1970-х гг. эта задача была своего рода математической головоломкой.

Первый подход заключается в создании радиальных мозаик. Например, возьмем мозаику из равнобедренных треугольников. Разрезав ее пополам и сдвинув верхнюю половину влево, мы получим апериодическую спираль.

Еще одна проблема заключается в нахождении мозаичных плиток для апериодической мозаики. В течение очень долгого времени математики пытались решить эту проблему, но в результате были найдены лишь узоры, содержащие огромное количество составных элементов. В 1971 г. американский математик Рафаэль Митчел Робинсон разработал дизайн, в котором используются плитки только шести видов, полученных путем добавления выемок и выступов к квадрату.

В 1973 г. физику и математику сэру Роджеру Пенроузу (род. в 1931 г.) удалось уменьшить количество плиток до четырех. Год спустя он свел количество к двум. С плитками двух простых типов Пенроуз смог построить апериодическую мозаику. Эти два типа получили названия «воздушный змей» и «дротик». На рисунке это фигуры ABED и BCDE. Вместе они образуют ромб со стороной 1 и углами 72° и 108°. Присутствие Ф вполне закономерно, как и можно было бы ожидать с такими величинами углов.

«Воздушный змей» (заштрихованный) состоит из двух «золотых» треугольников, совмещенных по одной из их равных сторон. Таким образом, длины двух больших сторон равны 1, а двух меньших — Ф — 1 = 1/Ф. Три угла по 72°, а четвертый — 144°. «Дротик» образован двумя «золотыми» гномонами, совмещенными по их меньшей стороне. Это четырехсторонняя вогнутая фигура с формой, дополняющей форму «воздушного змея». Она имеет два угла по 36°, один в 72° и один в 216° (который больше, чем развернутый угол в 180°).

Очевидно, что мы можем построить периодические мозаики с помощью этих двух плиток, если образуем из них ромб. Если мы не хотим повторяющихся узоров, существует другой способ. Обозначим каждую из вершин (например, буквой) и примем условие, что только вершины с одной и той же буквой могут совпадать, когда плитки касаются друг друга.

В каждой «мозаике Пенроуза» отношение числа плиток двух типов стремится к золотому сечению. Казалось бы, нам потребуется больше «дротиков», чем «воздушных змеев», но на самом деле наоборот. «Воздушных змеев» потребуется в Ф раз больше, чем «дротиков».

Пенроуз разработал еще один набор плиток, состоящий из двух ромбов, где первый образован двумя «золотыми» треугольниками, а второй — двумя «золотыми» гномонами.

Для построения апериодической мозаики мы должны как-то пометить стороны или вершины этих двух ромбов. В готовой мозаике каждый тип ромбов встречается в соотношении Ф, широкие плитки чаще, чем узкие.

Игры с использованием пятиконечной звезды и золотого сечения

Большинство азартных игр имеют математическую основу, так что не трудно найти игры, связанные с золотым сечением. Кроме того, с древних времен многие игровые доски имеют форму пятиконечной звезды. Так было в Древнем Египте: доска в форме пятиконечной звезды использовалась в одной из старейших настольных игр. В египетском храме Курна были найдены гравюры 1700 г. до н. э. с изображением игры, в которой используется звездообразная доска. Эта игра Пентальфа, вариант которой до сих пор популярен в Греции на Крите.

В математическом смысле интересен вариант другой древней игры, Ним, в которой золотое сечение используется в виде последовательности Фибоначчи. Поэтому эта игра также известна под названием «Ним Фибоначчи». Мы начнем с некоторого количества фишек N.

Два игрока по очереди берут фишки из одной кучки. Побеждает игрок, который берет последнюю фишку.