Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Как ни удивительно, но уже древние греки знали, что хотя существует бесконечное число правильных многоугольников — они могут иметь любое количество сторон — бывает только пять правильных многогранников, так называемых Платоновых тел. Гранями трех из них являются равносторонние треугольники: тетраэдр (четыре грани), октаэдр (восемь граней) и икосаэдр (20 граней). Еще один имеет шесть квадратных граней: куб (или гексаэдр), а пятый, додекаэдр, имеет 12 граней в виде правильных пятиугольников. Все они могут быть вписаны в сферу, касаясь ее всеми вершинами.

В Древней Греции каждое из этих тел связывали с одной из природных стихий. Куб представляет землю, тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — воду, а додекаэдр был символом космоса, всей Вселенной. Платон писал: «Боги использовали [додекаэдр], чтобы вплести созвездия в небо».

Большой интерес древних греков, особенно пифагорейцев, к многогранникам, без сомнения, объясняется изучением кристаллических минералов, широко распространенных в Средиземноморье, в том числе эффектных кристаллов пирита, часто имеющих форму додекаэдра.

Количества граней, ребер и вершин пяти правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Если мы опишем многогранник вокруг додекаэдра, используя центры его граней в качестве новых вершин, то мы получим икосаэдр.

МНОГОГРАННЫЕ УПАКОВКИ

В любом холодильнике найдется много упаковок. Обычная упаковка для жидкостей, таких как молоко или сок, — это коробка фирмы «Тетра Пак». Название предполагает форму тетраэдра, в то время как на самом деле это параллелепипед. Однако оригинальная упаковка «Тетра Пак» действительно была в форме тетраэдра.

Упаковку в форме тетраэдра очень легко и быстро сделать, потому что ее достаточно склеить с двух краев. Но почему же эта форма была изменена, раз она такая идеальная? По причинам перевозки и хранения. Тетраэдры сложно хранить, всегда остается пустое пространство, которое другой тетраэдр не может заполнить.

Современная форма упаковки, параллелепипед, также проста в производстве. Если разобрать одну из них, можно увидеть, как она устроена. Но главным преимуществом использования параллелепипедов является возможность их эффективно хранить: сложенные вместе, они не оставляют пустот.

* * *

Если мы проделаем то же самое с икосаэдром, то получим додекаэдр. Из-за такого свойства эти многогранники называют двойственными.

Не все многогранники имеют связь с Ф. Ближайшими к золотому сечению являются додекаэдр (как и следовало ожидать, потому что он образован пятиугольниками) и двойственный ему икосаэдр. Число Ф появляется в выражениях для объема и площади поверхности (суммы площадей граней) этих двух многогранников. С длиной ребра, равной 1, эти выражения имеют вид:

Площадь поверхности додекаэдра = 15Ф/√(3 — Ф) = 3∙√(25 + 10∙√5) =~ 20,65.

Объем додекаэдра 5Ф²/(6 — 2Ф) = (1/4)∙(15 + 7∙√5) =~ 7,66.

Объем икосаэдра 5Ф²/6 = (5/12)∙(3 + √5) =~ 2,18.

Если икосаэдр и додекаэдр вписаны один в другой как двойственные тела, соотношение между длинами их ребер задается формулой:

Ф²/√5.

С другой стороны, 12 вершин икосаэдра можно разделить на три группы по четыре вершины, которые являются вершинами «золотых» прямоугольников, вписанных в многогранник, каждый из которых перпендикулярен двум другим.

Поэтому если мы возьмем три равных «золотых» прямоугольника и поместим их перпендикулярно друг к другу так, чтобы они пересекались в их центрах, 12 выступающих вершин образуют икосаэдр с ребром, равным меньшей стороне «золотого» прямоугольника. Если мы примем точку пересечения в «золотых» прямоугольниках за начало координат, то координаты 12 вершин икосаэдра будут выражены следующим образом:

(0,±1,±Ф), (±1,±Ф,0), (±Ф,0,±1).

Глава 4 Красота и поиск совершенства в искусстве