Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Все мы знаем, что такое мозаика. Однако было бы неплохо получить ее точное определение. Мозаика, таким образом, будет определяться как такое покрытие поверхности кусочками, которые мы называем мозаичной плиткой (или просто плитками), когда между этими плитками не остается зазоров, и никакие плитки не перекрывают друг друга.

Для математиков наиболее интересны такие мозаики, в которых покрытие состоит из многоугольников, потому что многоугольники могут иметь общие стороны и вершины и поэтому представляют собой отличное поле для геометрических экспериментов. Это может показаться сложной задачей, однако нас окружает множество реальных примеров: плитка на полу, на стенах домов, в служебных помещениях и даже на улице.

УГЛЫ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Существует способ нахождения величины углов в правильном многоугольнике с любым числом сторон. Так как все углы правильного многоугольника равны, для начала нужно вычислить сумму всех углов правильного многоугольника с известным числом сторон. Затем мы разделим результат на количество сторон и получим величину каждого из углов.

Чтобы найти сумму углов многоугольника, у которого n сторон, мы выберем любую вершину и проведем диагонали, соединив ее со всеми другими вершинами. Мы получим (n — 3) диагоналей, так как эту вершину можно соединить со всеми остальными, за исключением двух соседних. Диагонали образуют (n — 2) треугольников. Таким образом, сумма углов всех этих треугольников равна сумме углов исходного многоугольника. Как мы знаем, сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, общая сумма углов многоугольника будет S = (n — 2)180°.

Каждый из углов правильного многоугольника будет равен s = (n — 2)∙180°/n. Подставляя в это выражение вместо n число сторон наиболее распространенных многоугольников, мы получим следующую таблицу:

* * *

Главной задачей, связанной с мозаикой, является нахождение наименьшего узора, который, повторяясь, позволяет заполнить данную поверхность. Этот минимальный узор может быть одной плиткой, которая заполняет поверхность, просто повторяясь, без поворотов и симметрии. Такой процесс дает нам так называемую периодическую мозаику. Апериодические мозаики не имеют минимального узора для покрытия поверхности, но заполняют все пространство, используя золотое сечение.

Предположим, что мы должны покрыть пол (или любую другую ровную поверхность) плиткой, имеющей форму правильного многоугольника. Какую форму предпочесть? Можно подумать, что любой правильный многоугольник подойдет, но это не так. Например, мы не сможем сделать покрытие из правильных пятиугольников. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать и вырезать несколько равных правильных пятиугольников, положить их на ровную поверхность и попытаться покрыть площадь, равную сумме площадей пятиугольников. Прежде всего, попытаемся разложить их так, чтобы их вершины касались друг друга. С первыми двумя никаких проблем не возникнет, но когда мы добавим третий, то увидим, что осталось немного места, которое не может быть заполнено другим пятиугольником.

Угол правильного пятиугольника равен 108°. Соединяя три пятиугольника, мы получим общий угол 3∙108° = 324°. Пространство было бы заполнено, если общий угол был бы равен 360°, величине полного оборота. Нам не хватает 36°. Если мы добавим еще один пятиугольник, у нас будет слишком много градусов для полного оборота.