Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Серебряный прямоугольник, или серебряное сечение, получается при добавлении к прямоугольнику с отношением √2 квадрата со стороной 1. Такой прямоугольник имеет форматное отношение (1 + √2), которое, как мы видели в предыдущей главе, является решением уравнения х² - 2х - 1 = 0 и называется серебряным сечением. Прямоугольник, полученный таким способом, более вытянут, чем исходный, так что объекты, в которых он используется, такие как врата храмов и поэтажные планы зданий, выглядят более изящными.

Прямоугольник Кордовы

Одним из главных памятников мавританской архитектуры в испанском городе Кордова (Cordoba) является знаменитая мечеть Мескита с восьмиугольным михрабом (молитвенной нишей). Испанский архитектор Рафаэль де Ла-Ос (1924–2000), изучая ее пропорции, обнаружил особый прямоугольник, который объясняет красоту ее формы. Де Ла-Ос описал эту пропорцию как отношение сторон прямоугольника, длина которого равна радиусу окружности, а ширина — длине стороны правильного восьмиугольника, вписанного в эту окружность. Он получил название прямоугольника Кордовы и выглядит более низкорослым, чем «золотой» прямоугольник.

Чтобы вычислить форматное отношение этого прямоугольника, мы должны выразить длину стороны L правильного восьмиугольника через радиус R описанной вокруг него окружности. Тогда мы получим:

R/L = 1/√(2 — √2) =~ 1,307

Это так называемое сечение Кордовы, или число Кордовы.

Спирали и золотое сечение

Но самым удивительным образом Ф проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники по уже знакомой нам процедуре.

Затем мы проведем четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Радиус каждой из окружностей равен длине стороны квадрата, а центром является вершина, общая со следующим «золотым» прямоугольником. Это будут точки 1, 2, 3, 4, 5…

Таким образом мы получим линию, называемую логарифмической спиралью.

ЯКОБ БЕРНУЛЛИ И СПИРАЛИ

Спираль и ее свойства вызывали интерес у многих выдающихся математиков. Якоб Бернулли (1654–1705) был особенно очарован спиралями, которым он посвятил многие годы исследований. Это его увлечение привело к тому, что он даже завещал выгравировать спираль на его могиле, вместе с надписью Eadem mutato resurgo, что означает «Изменяясь, я воскресаю неизменным». Однако несмотря на строгие инструкции, гравер не смог воспроизвести логарифмическую спираль, а изобразил серию дуг, к которым слова Бернулли неприменимы.

Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.

Другим важным свойством спирали является равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечений с кривой всегда будут одинаковыми. Поэтому, если мы хотим наблюдать точку под постоянным углом, мы должны двигаться вокруг нее по траектории, которая является логарифмической спиралью. Она также известна как геометрическая спираль, так как длина радиус-вектора — отрезка, соединяющего центр с точкой на спирали — увеличивается в геометрической прогрессии, в то время как угол, образованный радиус-вектором, увеличивается в арифметической прогрессии.

Строго говоря, кривая, которую мы только что построили в наших «золотых» прямоугольниках, не является спиралью, так как она образована дугами разных окружностей, соединенных между собой искусственно, но она приближена к логарифмической спирали. Спираль не касается четвертинок окружностей, а пересекает их, пусть и под очень малым углом. Настоящая логарифмическая спираль выглядит следующим образом:

Если мы будем выполнять те же построения, но добавим изменения по высоте, то получим трехмерную спираль, как показано на следующем рисунке:

Свойства спирали привлекали не только ученых, но и художников.

Работа нидерландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972), известного своими нереальными мирами, изображенными на картинах и мозаиках. Многие его работы основаны на математике. Эшер часто рисовал спираль, как это можно видеть на гравюре 1953 г., озаглавленной просто: «Спирали».