Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Разобьем его на треугольники, сторона которых в три раза меньше исходной, то есть получим девять маленьких треугольников. Еще три треугольника были добавлены после первого шага, их общая площадь составляет 1/3 от первоначальной площади. Таким образом, мы имеем:

A₁ = 1 + 1/3 = 4/3

Вокруг каждого маленького треугольника Т₂ мы добавляем четыре еще более маленьких треугольника при следующем шаге, Т₃, что составляет 4/9 площади трех треугольников Т₂, которая, как мы видели, равняется трети от общей площади А₁. Таким образом, при втором шаге мы добавили (4/9)∙(1/3).

Рассуждая аналогичным образом, мы видим, что при каждом из следующих шагов мы добавляем 4/9 от площади, добавленной при предыдущем шаге, так что наша общая площадь выражается так:

A = 1 + 1/3 + (4/9)∙(1/3) + (4/9)²∙1/3 + (4/9)³∙1/3 +…

Упростим это выражение. Вынесем общий множитель за скобки, а к выражению в скобках применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

A = 1 + (1/3)∙(1 + 4/9 + (4/9)² +(4/9)³ +…) = 1 + (1/3)∙(1/(1 — (4/9)) = 1 + (1/3)∙(9/5) = 8/5 = 1,6.

Таким образом, после бесконечного числа шагов у нас получится кривая бесконечной длины, однако эта кривая ограничивает площадь, которая всего лишь в 1,6 раза больше площади исходного треугольника.

Размерность «снежинки» больше 1 и меньше 2. Давайте вспомним наш первый шаг: мы перешли от отрезка длины 3 к отрезку длины 4. Если бы мы остались на прямой, ее размерность была бы равна 1, потому что 3¹ = 3. Если бы мы построили квадрат со стороной 3, он бы имел площадь 9, потому что 3² = 9, и размерность 2. При переходе к длине 4 размерность является числом d, таким, что 3^d = 4. Чтобы найти d, мы используем логарифмы.

d = log 4/log 3 = ~ 1,2619

Как мы видим, размерность является дробным числом. Вот почему Мандельброт использовал латинское слово fractus.

Существует другой вариант этой кривой, который нам очень знаком: антиснежинка Коха. Она строится аналогично снежинке, только при каждом шаге треугольники добавляются внутри исходного треугольника. Эта антиснежинка используется в качестве логотипа японской марки автомобилей.

Но фракталы представляют собой нечто большее, чем забавный математический парадокс: сама природа имеет фрактальную структуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на деревья: рост ветвей можно с поразительной точностью смоделировать с помощью фракталов. Существует много фрактальных моделей деревьев, где из каждого сучка под определенным углом растут ветви, длина которых равняется длине предыдущей ветки, умноженной на коэффициент f. В зависимости от значения этого множителя ветки могут пересекаться и даже расти друг на друге.

Эта проблема должна быть решена, если мы хотим иметь корректную модель реальности. Мы должны определить предельные значения множителя f. Исследования показывают, что он связан с Ф, потому что его значение равняется 1/Ф.

Если мы начнем строить дерево не с прямой линии, а с фигуры, например, с равностороннего треугольника, и в каждой вершине треугольника поместим другой равносторонний треугольник, длина стороны которого равна исходной, умноженной на коэффициент f (на нашем рисунке f = 1/2), так чтобы ветви не пересекались, а лишь касались, максимальное значение f также будет 1/Ф.

Романеско (один из культурных сортов капусты Brassica oleracea) является самым красивым примером фракталов в природе, потому что ее структура видна невооруженным глазом, без вычислений и математических формул. Если отрезать любой кусок, его форма всегда будет такой же, как и у целого кочана. Мы можем проверить связь с Ф, посчитав спирали в обоих направлениях. В результате мы получим два числа из последовательности Фибоначчи: 8 и 13 спиралей.

Количества спиралей в кочане цветной капусты романеско являются числами из последовательности Фибоначчи.

Конец путешествия

Мир фракталов глубок и сложен, мы лишь едва коснулись его. Роль Ф во фрактальных структурах вовсе не ограничивается тем, что мы видели. Но самое интересное заключается в том, что это древнее и прославленное число, появившееся в математике более 20 веков назад, до сих пор встречается в новых областях современной науки. Число Ф не является отслужившей свое игрушкой, оно и сегодня продолжает играть важную роль.

Здесь наше путешествие подошло к концу. Хочется надеяться, что сам путь был столь же интересным, как и пункт назначения. Мы делали много остановок в самых разных областях: живопись, архитектура, астрономия, дизайн и сама природа. Мы подошли к месту, откуда открываются широкие горизонты. Несомненно, нас ждут новые открытия.

Приложение. Тексты из первоисточников

Из трактата Луки Пачоли «О божественной пропорции»

ГЛАВА V