Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Последовательность Шимпера — Брауна, состоящая из отношений чисел из последовательности Фибоначчи соответственно к числам, следующим через позицию, ajа_п+2, позволяет классифицировать многие виды по углу расхождения. Так как отношение между двумя последовательными числами а_n+1/а_n стремится к Ф, отношения из последовательности Шимпера — Брауна стремятся к 1/Ф². Математическое доказательство выглядит следующим образом:

По-настоящему сложный вопрос заключается в том, откуда растения «знают», что их листья должны быть расположены в соответствии с последовательностью Фибоначчи? Дело в том, что стебель растения имеет коническую форму. Листья на стебле растут радиально, если смотреть на растение сверху. Браве заметил, что каждый следующий лист повернут примерно на 137,5° от предыдущего. Посчитаем

360°∙1/Ф² = 360°/Ф²

(где 360° соответствует полному обороту) и получим угол в 137,5°, который иногда называют «золотым» углом.

Идя в противоположном направлении, от математики к ботанике, группа ученых во главе с Ривьером доказала в 1984 г., что, используя математический алгоритм и угол роста, равный «золотому» углу, можно получить конфигурации, подобные тем, которые встречаются у реального подсолнечника. Это заключение было интересно тем, что именно однородные и сопоставимые структуры в живых организмах резко ограничивают их возможные формы. В свою очередь, это объясняло частое появление чисел Фибоначчи и золотого сечения в филлотаксисе. Другие эксперименты, например, с магнитными полями, также приводят к конфигурациям с «золотой» спиралью.

Каждый следующий лист на стебле подсолнечника повернут примерно на 137,5° от предыдущего.

В этом распределении виртуальных семян, сгенерированном компьютером, можно ясно увидеть большое количество спиралей в разных направлениях. Количества спиралей похожей длины в обоих направлениях обычно соответствуют числам из последовательности Фибоначчи.

Классический эксперимент в этой области был проведен в 1907 г. немецким математиком Герритом ван Итерсоном. Он расположил последовательные точки по спирали с поворотом на 137,5° и показал, что человеческий глаз воспринимает их как семейство спиралей, закрученных по часовой и против часовой стрелки. Количество спиралей в этих двух семействах, как правило, соответствует числам Фибоначчи. Подсолнечник — один из самых ярких примеров этого явления. Его семена образуют спирали по часовой и против часовой стрелки. Количества таких спиралей являются числами из последовательности Фибоначчи. Наиболее часто встречаются пары 21 и 34, 34 и 55, 89 и 144.

Что это: внутренняя закономерность роста или просто удивительное совпадение?

Подсолнечник содержит 21 и 34 спирали в противоположных направлениях.

Ветви деревьев расположены так же, как и листья растений. Опять же, ветви растут не одна над другой, а по спирали. Размер дерева меняется по ходу его роста, но пропорции между высотой и длиной его ветвей сохраняются, как и общая форма. Благодаря этому опытный наблюдатель может отличить один вид от другого на расстоянии, не рассматривая листья или кору вблизи.

Тысячелистник птармика (Achillea ptarmica) — одно из многих растений, у которого ветки и листья расположены в соответствии с последовательностью Фибоначчи.

Цветы и лепестки

Число лепестков многих цветов также соответствует некоторым членам последовательности Фибоначчи, например, у сирени (3 лепестка), лютика (5), шпорника (8), календулы (13) и астры (21). Различные виды ромашки имеют разное количество лепестков, но это всегда числа Фибоначчи (21, 34, 55, 89).

Типичной сценой в любовных рассказах является гадание на ромашке: отрывая лепесток за лепестком, герои спрашивают «любит — не любит». Можно подумать, что у влюбленного математика будет преимущество при отрывании лепестков ромашки, но это не так. К счастью, природа и последовательность Фибоначчи оставляют место для случайности, и цветок всегда будет хранить тайну. Хотя количество лепестков ромашки является числом Фибоначчи, это число может быть как четным, так и нечетным, и мы не узнаем сколько лепестков имеет конкретная ромашка, пока не закончим их обрывать.

Может показаться, что, как и в архитектуре, золотая пропорция в растениях встречается неестественно часто и явно. Тем не менее, строгие эксперименты в этой области дают пищу не только для размышлений, но и для эстетического наслаждения.

Количество лепестков ромашки всегда является числом из последовательности Фибоначчи, в данном случае, 21.