Античная наука

Все эти задачи мы находим в книгах «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях». Трудно сказать, осознавал ли Архимед, что в каждой из рассмотренных им задач речь шла об одном и том же математическом понятии — понятии определенного интеграла. Во всяком случае, у него еще не было средств, чтобы дать общее определение интеграла. Кроме того, во всех решаемых задачах Архимеда интересовали в первую очередь не методы, а результаты — например, что поверхность шара в четыре раза больше, чем площадь его большого круга, и что объем шара равен 2/3 объема описанного около него цилиндра. Последним результатом Архимед особенно гордился, вследствие чего на его могиле был поставлен надгробный памятник, изображавший шар, вписанный в цилиндр.

Рис. 7. Архимедова спираль (ρ=αφ)

Наряду с методами вычисления площадей и объемов, Архимед разработал метод определения касательной к кривой, фактически сводящийся к нахождению производной. По каким-то причинам этот метод фигурирует только в письме «О спиралях», где он применяется для определения касательной к спирали ρ=αφ (так называемая «Архимедова спираль», рис. 7), однако рассуждения Архимеда имеют общий характер и применимы к любой дифференцируемой кривой. Тем же методом Архимед пользуется для нахождения экстремальных значений алгебраических выражений, которые могут быть выражены в виде геометрических кривых. В частности, пользуясь современной терминологией, можно сказать, что он провел полное исследование существования положительных корней кубического уравнения определенного вида. Проблема определения экстремальных значений сводится Архимедом к проблеме нахождения касательной к соответствующей кривой.

Помимо пяти писем к Досифею, до нас дошли — полностью или частично — еще некоторые математические работы Архимеда. Так, мы располагаем фрагментом его книги «Измерение круга», в котором доказывается ряд теорем, относящихся к свойствам круга (более полный текст этого сочинения сохранился в арабском переводе). В одной из теорем Архимед пользуется методом исчерпывания, доказывает, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу данного круга, а другой — длине его окружности. При этом в качестве порочного результата Архимед устанавливает приближенное значение отношения длины окружности к диаметру (т. е. числа П). Вычисляя периметры вписанных в круг и описанных вокруг него многоугольников, Архимед устанавливает для этого числа следующие неравенства:

Наряду со строго математическими методами Архимед иногда пользуется остроумными эвристическими приемами для получения тех же результатов. Еще в первом письме к Досифеем («О квадратуре параболы») площадь параболического сегмента определяется не только методом исчерпывания Евдокса, но также «механическим» методом, представлявшим собою изобретение самого Архимеда. Обоснование подобных процедур содержится в рукописи неизвестного ранее сочинения Архимеда, обнаруженной в Константинополе приват-доцентом Петербургского университета Попадопуло Керамевсом и прочтенной в 1906—1908 гг. известным датским филологом И. Л. Хейбергом. В, этом сочинении (так называемый «Эфод»), пользуясь принципом рычага, Архимед приводит доказательства ряда теорем, в других сочинениях доказываемых им с помощью интегрального метода. При этом Архимед пишет: «Кое-что из того, что ранее мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически». Разумеется, такие «механические» методы не могли быть применены ко всем задачам подобного рода, которые, однако, также были решены Архимедом. Механические методы, используемые Архимедом, представляют собой обход интегрирования, когда можно бывает выразить одни интегралы через другие, уже известные. Этому не противоречит то обстоятельство, что механические методы применялись Архимедом задолго до того, как он разработал интегральный метод, представлявший собой развитие метода исчерпывания Евдокса.

Уже в древности большой популярностью пользовалось сочинение Архимеда, дошедшее до нас полностью под названием «Псаммит» (примерный перевод — «Исчисление песчинок») и относящееся к числу поздних работ великого сиракузца, причем, судя по началу, оно было теснейшим образом связано с астрономической проблематикой. Математическое содержание «Псаммита» сводится к разработке системы классификации больших чисел. Эта классификация, кажущаяся теперь неоправданно сложной, заканчивается числом, которое в наших обозначениях может быть записано как 10^{8·10^16}.