Аппараты с перемешивающими устройствами

После этого Тимошенко [31,с.258] принимает для анализа вала модель, в которой сам вал вращается вокруг своей оси (изогнутой оси) с частотой ω, и плоскость вала вращается вокруг прямой оси с такой же частотой ω.

В этом случае на вал будет действовать сила

Работа центробежной силы:

Из этой формулы получается такая же формула для критической частоты.

Оценивается влияние массы вала на значение критической частоты. Используется метод Релея. Задается вид кривой изгиба вала. Этим система вала преобразуется в систему с одной степенью свободы. Для вала с одной мешалкой (η – прогиб):

Для нескольких мешалок на валу:

Второй член левой части формулы относится к работе центробежной силы.

Некорректность этих формул в том, что они не учитывают наклон плоскостей мешалок к оси вала.

Наклон мешалок за счет появления моментов сил инерции противодействует изгибу вала, т.е. повышает жесткость и увеличивает значение критической частоты.

Тимошенко [31,с.260] рассматривает вал с 4 дисками:

Горизонтальные силы уравновешиваются, вертикальные силы приводятся к паре сил и силе в плоскости xy. Пара сил:

Все пары приводятся к паре (θ – момент инерции мешалки относительно оси z).

Пара производит работу против искривления оси вала

Формула для определения критической частоты:

Тимошенко называет приведенную формулу общим решением о разыскании критической угловой скорости [31,с.260].

__

По изложенной выше теории поперечных колебаний можно определять собственные частоты колебаний валов для различных конструктивных компоновок перемешивающих устройств, а затем по приведенным выше формулам рассчитывать критические обороты вала.

Совместное действие поперечных и крутильных колебаний на вал

Тимошенко С.П. в работе [30,с.427] подробно рассмотрел проблему совместного действия изгибных и крутильных колебаний на балку. Для рассматриваемого им случая изгибные колебания проходили не в плоскости симметрии стержня, в результате чего возникают крутильные колебания. В нашем случае крутильные колебания возникают при вращении вала с мешалками. Однако, выводы полученные Тимошенко могут быть применены для анализа совместного действия поперечных и крутильных колебаний вала с мешалками.

Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:

(w – интенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)

Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc.

Крутящий момент:

R – крутильная жесткость, R₁ – жесткость стесненного кручения.

Дифференцируя получается:

Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.

Интенсивность поперечных сил инерции

Интенсивность моментов инерции

I_п – центральный полярный момент инерции сечения вала.

Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:

Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.

р – круговая частота колебаний,

Х, Х₁ – нормальные функции, решения которых отыскиваются для удовлетворения граничным условиям.

После подстановки:

Тимошенко приводит пример стержня со свободно опертыми концами:

Функции Х и Х₁ в этом случае:

C_i и D_i – произвольные постоянные.

Вводятся обозначения:

После подстановки получается:

Решения для C_i и D_i находятся в случае, если определитель уравнений равен нулю.

В этом случае частотное уравнение:

Из этой формулы:

Для случая совпадения центра тяжести с центром сдвига, то есть с = 0 и λ =0:

Из формулы получаются две системы значений частот:

Полученные частоты являются несвязанных друг с другом и независимых друг от друга частот изгибных (поперечных) и крутильных колебаний. Аналогичные результаты получаются для стержней с другими условиями закрепления концов.

Связанные изгибно-крутильные колебания можно найти методом Релея-Ритца [30,с.430].

__

Итак, по представленным данным Тимошенко возможен раздельный расчет на поперечные и крутильные колебания, либо расчет на изгибно-крутильные колебания методом Релея-Ритца.

Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов с мешалками. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала. Однако, правильно выполнять расчет на изгибно-крутильные колебания вала с мешалками.

Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [32].