Энциклопедический словарь юного математика

Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f + g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x·sin x√2 и  являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции и  периодичны с периодом π√2.

Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить ее периодом. Например, функции y = sin² x,  (рис. 2, 3) периодические функции (здесь: F₁(z) = z² и F₂(z) = √z̄). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T₀, то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin² x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f'(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда

.

ПЕРСПЕКТИВА

Слово «перспектива» происходит от латинского глагола perspicio - «ясно вижу». В изобразительном искусстве перспектива - способ изображения пространственных фигур на плоскости такими, какими они видны из одной неподвижной точки. Из опыта мы знаем, что при удалении предмета его видимые размеры уменьшаются, уходящие вдаль параллельные прямые (например, два рельса железнодорожного пути) представляются нам сходящимися в одной точке на горизонте, а круглое озеро выглядит с берега как вытянутый овал.

Точные законы перспективы разрабатывали архитекторы, художники и ученые эпохи Возрождения начиная с XV в., среди них - Ф. Брунеллески, П. Уччелло, Пьеро делла Франческо, Леонардо да Винчи, А. Дюрер и другие.

На одной из гравюр А. Дюрера изображено, как художник рисует лютню. Перед ним стоит прибор, который состоит из рамки с натянутой на нее квадратной сеткой и прикрепленным перед ней глазком; глядя в этот глазок на лютню, художник переносит ее изображение на лежащий перед ним лист бумаги, на котором нанесена такая же, как на рамке, квадратная сетка. Это практическая школа перспективы.

Гравюра А. Дюреро «Построение перспективы лютни».

Сформулируем математическую задачу построения перспективного изображения. Представим себе прозрачную плоскость p картины, расположенную между точкой S, откуда идет наблюдение, называемой точкой зрения (глазом художника), и изображаемым предметом. Каждая точка M предмета должна изображаться точкой M' картины, в которой прямая линия MS пересекает плоскость p. Отсюда предложенное Леонардо да Винчи название линейная перспектива (в отличие от воздушной перспективы, объясняющей и использующей уменьшение контрастности и изменение окраски удаленных предметов). Свойства линейной перспективы - это свойства центральной проекции (см. Проекция) на плоскость p с центром S. На рис. 1 показано, как получается изображение двух параллельных железнодорожных рельсов: две плоскости, образующие «крышу домика» (в которых лежат проецирующие лучи), пересекаются по горизонтальной прямой l, проходящей через точку зрения S. В точке H пересечения l с картинной плоскостью сходятся две прямые, изображающие рельсы на картине.

Рис. 1

Вообще, для каждого семейства параллельных прямых их изображения сходятся в одной точке H; если эти прямые горизонтальны, то H лежит на «линии горизонта» - прямой, по которой проходящая через S горизонтальная плоскость пересекает картину. Такое семейство прямых хорошо видно на рисунке к статье «Проективная геометрия».

Построить для пространственной и даже для плоской фигуры ее точное перспективное изображение не всегда простая задача. Такие задачи относятся к начертательной геометрии, которую изучают в архитектурных, некоторых технических и художественных учебных заведениях. Приведем несколько примеров.

На двух рисунках 2а,б изображены ряды равноотстоящих телеграфных столбов, уходящих к «бесконечно удаленной» точке H на линии горизонта. Какой из них правильный? Может быть, оба? Наш зрительный опыт подсказывает, что правилен рис. 2а. Можно доказать, что расстояния от H до оснований столбов (и также высоты столбов) должны убывать, как числа, обратные к членам арифметической прогрессии, а на левом рисунке эти величины ведут себя как члены геометрической прогрессии - каждый раз убывают вдвое.

Рис. 2