Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Фигура внизу слева похожа на бублик. Математики называют такую фигуру тором, имея в виду только поверхность, но не внутреннюю часть, где у бублика находится мякиш. В этом тор больше напоминает надувной спасательный круг. В нем есть отверстие. Вы можете просунуть в это отверстие палец или, в случае спасательного круга, тело. Но это отверстие не в самой поверхности. Если бы это было так, надувной спасательный круг сдулся бы – и вы бы утонули. Отверстие расположено в месте, где поверхности как раз нет. Это совершенно логично: инженер широкополосной связи, сидящий в инспекционном люке, тоже находится там, где нет поверхности. Но у люка есть края, а вот у тора имеется отверстие, но нет ни одного края. Как и у цилиндра, у тора две стороны: та, что мы видим на рисунке, и та, что «внутри».

Фигура внизу справа менее известна. Это бутылка Клейна. Она называется так в честь великого немецкого математика Феликса Клейна и потому, что внешне похожа на бутылку. Название, по-видимому, было немецким каламбуром, поскольку по-немецки Fläche означает «поверхность», а Flasche – «бутылка». В одном отношении рисунок выглядит обманчиво: кажется, что поверхность протыкает себя насквозь. В бутылке Клейна такого не происходит. Самопересечение возникает потому, что мы, естественно, рисуем так, будто предмет находится в трехмерном пространстве. Чтобы получить бутылку Клейна без самопересечений, нужно либо выйти в четыре измерения, либо, что еще лучше, последовать стандартной топологической практике – вообще отбросить потребность в окружающем пространстве. Тогда бутылку Клейна можно рассматривать как цилиндр, два круглых конца которого соединены друг с другом, но после того, как один из них вывернули наизнанку. Чтобы проделать это в трехмерном пространстве, необходимо проткнуть концом цилиндра его стенку и вновь его там раскрыть, но можно сделать то же самое концептуально, просто добавив правило, по которому вы, падая с одного конца цилиндра, оказываетесь на другом его конце, со сменой направления вдоль окружности. У бутылки Клейна, как у тора, нет краев, а ленту Мёбиуса она напоминает тем, что имеет только одну сторону.

Итак, мы описали различия всех четырех приведенных на рисунке топологических пространств. Они различаются либо числом концов, либо числом сторон. Либо типами отверстий, если мы только сможем сказать, что подразумеваем под отверстием. Это наблюдение открывает один из фундаментальных вопросов топологии. Как определить, являются ли данные топологические пространства идентичными или отличаются друг от друга? Для этого недостаточно просто посмотреть на фигуру, потому что она может быть деформирована. Как говорится, для тополога что бублик, что кофейная чашка – все едино. Чтобы ответить на вопрос, необходимо привлечь топологические свойства, по которым различаются пространства.

Сделать это не всегда просто.

* * *

Бутылка Клейна выглядит как классическая математическая игрушка. Трудно понять, как она может, хотя бы в принципе, быть полезной в реальном мире. Конечно, Гильберт настаивал, что математические игрушки ценны не сами по себе, а через теории, на создание которых они вдохновляют, так что бутылке Клейна нет нужды оправдывать свое существование непосредственно. На самом деле эту невероятную фигуру все же можно отыскать в природе. Она возникает в зрительной системе приматов – а это обезьяны обычные и человекообразные, ну и, конечно, мы.

Более столетия назад невролог Джон Хьюлингс Джексон выяснил, что кора головного мозга человека содержит своеобразную топографическую карту мышц тела. Кора – это извилистая поверхность мозга, так что все мы держим в голове карту собственных мышц. Это полезно, потому что мозг управляет сокращением и расслаблением мышц и, соответственно, нашими движениями. Значительная часть коры отвечает за зрение, и мы сегодня знаем, что зрительная кора содержит в себе аналогичные карты, управляющие зрительным процессом.

Зрение – это не только глаз, работающий как камера и посылающий фотографию в мозг. Оно намного сложнее, потому что мозг должен не только получить изображение, но и распознать его. Подобно камере, глаз имеет линзу для фокусировки входящего изображения, а работа сетчатки немного напоминает работу пленки. На самом деле зрительный процесс ближе к работе цифровых камер. Свет попадает на крохотные рецепторы на сетчатке, именуемые палочками и колбочками, а нейронные связи передают сигналы в кору мозга по зрительному нерву – пучку нервных волокон. По пути эти сигналы обрабатываются, но основную часть анализа берет на себя кора.