Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Центральный вопрос топологии звучит так: «Какая это фигура?» То есть «Какое топологическое пространство мы здесь видим?» Вопрос может показаться банальным, но математика представляет нам топологические пространства самыми разными способами – в виде картинок, формул, решений уравнений, поэтому не всегда понятно, что мы получаем. Например, только тополог способен разглядеть бутылку Клейна в слое V1 мозга макаки. Мы замахнулись на решение этой задачи, когда заметили, что четыре пространства на моем рисунке – цилиндр, лента Мёбиуса, тор и бутылка Клейна – различаются топологическими свойствами. Ближе к концу XIX века и в начале XX века математики разработали систематические подходы к этому вопросу. Ключевая идея состоит в том, чтобы определить топологические инварианты – свойства, которые можно вычислить и которые одинаковы у топологически эквивалентных пространств, но различны по крайней мере у некоторых неэквивалентных пространств. Обычно этого недостаточно, чтобы различать все неэквивалентные пространства, но даже частичная классификация полезна. Если у двух пространств различается какой-то из инвариантов, то эти пространства определенно имеют различную топологию. При рассмотрении четырех фигур, о которых мы говорили, инвариантами являются такие аспекты, как «сколько краев?» и «сколько сторон?».

За прошедшие десятилетия выяснилось, что одни инварианты полезнее других, и было построено несколько инвариантов, имеющих фундаментальное значение. Тот, о котором я хочу сейчас рассказать (отчасти потому, что в последнее время у него появились серьезные сферы применения), называется гомологией. По существу, он подсчитывает, сколько отверстий заданной размерности имеет пространство. Мало того, он не просто подсчитывает: он соединяет отверстия и неотверстия в единый алгебраический объект, называемый группой гомологий.

Есть одно базовое топологическое пространство, которое я до сих пор не упоминал: сфера. Как и в случае с тором, когда математики произносят это слово, они подразумевают бесконечно тонкую поверхность, а не заполненную сферу (которую называют шаром). У сферы нет краев, как у тора и бутылки Клейна. Мы можем показать, что она топологически отличается и от тора, и от бутылки Клейна, если посмотрим на отверстия или их отсутствие.

Начнем с тора. С первого взгляда очевидно, что у тора прямо в середине есть огромное и очень заметное отверстие. Сферы выглядят совершенно иначе. Но как определить отверстие математически, так, чтобы определение не зависело от окружающего пространства? Ответ в том, что смотреть надо на замкнутые кривые на поверхности. Любая замкнутая поверхность на сфере образует границу области, которая с топологической точки зрения представляет собой диск – внутренность окружности{68}. Доказательство этого довольно заковыристо, поэтому будем просто считать, что так оно и есть. На торе некоторые замкнутые кривые также ограничивают диски, но некоторые нет. Мало того, любая замкнутая кривая, проходящая «сквозь» отверстие, не может ограничивать диск. Доказать это тоже довольно непросто, но мы опять смиримся с судьбой и будем считать, что все в порядке. Таким образом, мы показали, что сфера топологически отличается от тора, потому что «замкнутая кривая» и «ограничивает (топологический) диск» – это топологические свойства.

Слева: на торе некоторые замкнутые кривые являются границами, а некоторые нет. Справа: на сфере все замкнутые кривые являются границами

В эту игру можно играть и при более высоких размерностях. Например, в трех измерениях можно заменить «замкнутую кривую» на «(топологически) сферическую поверхность», а «ограничивает диск» на «ограничивает шар». Если вы сумеете найти сферу, которая не ограничивает шар, это будет означать, что в пространстве имеется трехмерное отверстие. Если вы хотите пойти дальше и определить это отверстие, то знайте, что еще первые топологи обнаружили возможность складывать и вычитать замкнутые кривые, или сферы. Я расскажу, как это происходит с кривыми на поверхностях, для более высоких размерностей все аналогично, но более хлопотно.

Цикл на торе

По существу, вы складываете две замкнутые кривые, когда рисуете их на одной поверхности. Чтобы сложить целое множество кривых, следует нарисовать их все. Существуют, правда, технические тонкости: часто полезно бывает рисовать вдоль кривой стрелочку, обозначая ее ориентацию, а одну и ту же кривую можно рисовать много раз и даже отрицательное число раз. Это почти то же самое, что рисовать обратную ей кривую (та же кривая, противоположная ориентация) положительное число раз, в смысле, который я скоро объясню.