Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Здесь последовательность из шести рисунков показывает, какие точки соединяются на разных масштабах, при разных мерках длины. С увеличением мерки – а мы при этом видим все более грубые структуры – в начальном облаке отдельных точек начинают формироваться небольшие сгустки, в одном из которых мы видим столь же небольшое отверстие. Это отверстие заполняется, а сгустки растут. Затем сгустки объединяются в кольцо, открывая нашему взору большое отверстие. Его стенки постепенно утолщаются, но само оно остается большим отверстием, пока мерка длины не станет такой большой, что все заполнится целиком. Рисунок схематичен, а подробности, которые добавил бы компьютерный алгоритм, опущены для ясности. Доминантной чертой, существующей на максимальном диапазоне шкал, является большое отверстие в середине.

Штрихкод постоянной гомологии показывает, какие структуры сохраняются на каких масштабах. (Схематично.)

Обратите внимание, что это описание включает в себя не только топологию, но и информацию о расстоянии. Формально топологическое преобразование не обязано сохранять расстояния, но в анализе данных их реальные значения важны не менее, чем общая топологическая форма. Поэтому постоянная гомология обращает внимание не только на топологические, но и на метрические свойства. Один из способов представления информации, полученной при помощи постоянной гомологии, предполагает построение штрихкода, где горизонтальные линии обозначают диапазон масштабов, на которых сохраняются те или иные гомологические черты (такие как отверстия). Например, штрихкод для представленного на рисунке облака точек мог бы выглядеть примерно как штрихкод на рисунке выше. В штрихкоде схематически обобщается информация о том, как топология меняется с масштабом.

* * *

Постоянная гомология и ее штрихкоды – все это прекрасно, но для чего они могут пригодиться?

Представьте, что вы управляете бизнесом и ваши офисы располагаются на поляне в лесу. Грабители могут подойти к ним по лесу незамеченными. Поэтому вы устанавливаете вокруг датчики, каждый из которых способен регистрировать движение и поддерживать связь с соседними датчиками, и включаете эту систему по ночам. При появлении кого бы то ни было, законном или нет, датчики должны поднять тревогу, и тогда ваша служба безопасности может пойти на место и выяснить, в чем дело. Или представьте, что вы генерал и управляете военной базой в местности, где активно действуют террористические группы. Вы делаете что-то похожее, только с оружием.

Как гарантировать, что покрытие территории датчиками достаточно, что нет прорех, через которые преступник или террорист мог бы прокрасться внутрь?

Если датчиков немного, вы можете нанести их на карту и визуально оценить распределение. Если число датчиков велико или имеются различные ограничения, обусловленные рельефом местности, то такой метод становится менее реальным. Поэтому нужен способ обнаружения прорех в зоне действия датчиков… Искать прорехи? Похоже, это задача как раз для постоянной гомологии. В самом деле, это одна из тех многочисленных областей, где в настоящее время применяется эта новая идея. Аналогичное применение можно назвать «барьерным покрытием»: определить, защищает ли данный набор датчиков охраняемое здание или комплекс полностью. «Прочесывающее покрытие» относится к подвижным датчикам, а домашний, или коммерческий, вариант этого алгоритма используется в роботах-пылесосах. Весь ли пол он почистит?