Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Множество кривых, помеченных числами, которые показывают, сколько раз нужно нарисовать каждую из них, называется циклом. На поверхности существует бесконечное число возможных циклов, но топологически многие из них эквивалентны друг другу. Итак, я только что сказал, что минус цикл – это тот же цикл, где все стрелочки перевернуты. На самом деле это не совсем верно, потому что «тот же» означает «идентичный», а циклы эти не идентичны. Но мы можем сделать их одинаковыми, применив топологический вариант фокуса, который проделывают специалисты по теории чисел в модулярной арифметике. Там, хотя числа 0 и 5 не одинаковы, мы можем сделать вид, что они одинаковы для определенных целей, и получить кольцо Z₅ целых чисел по модулю 5. В теории гомологий мы проделываем фокус того же рода и делаем вид, что любая замкнутая кривая, которая ограничивает диск, – то же самое, что нулевая кривая, и не рисуем ни одной ее копии. Такую кривую называют границей и говорят, что она гомологична нулю. Эта же идея распространяется и на циклы: цикл гомологичен нулю, если представляет собой комбинацию кривых, каждая из которых является границей.

Мы можем сложить циклы C и D и получить C + D, как уже описывалось, а можем вычесть один из другого, перевернув стрелочки в цикле D, и получить C – D; правда, C – С не обязательно должно равняться 0. Это раздражает, но выход есть: эта разность всегда гомологична нулю. Если мы сделаем вид, что все гомологичное нулю равно нулю, то получим прекрасный алгебраический объект, называемый группой гомологий на поверхности. В результате мы производим алгебраические операции над циклами по модулю (то есть игнорируя) границ. Точно так же, как мы занимаемся арифметикой (mod 5), игнорируя числа, кратные 5.

Это и есть гомология.

Группа гомологий сферы тривиальна: каждый цикл гомологичен нулю и группа состоит только из одного 0. Группа гомологий тора не тривиальна: некоторые циклы в ней не гомологичны нулю. Оказывается, каждый цикл гомологичен целому кратному цикла, обозначенного на рисунке как «не граница», так что группа гомологий тора представляет собой замаскированное множество целых чисел Z. Я не буду ничего считать и рисовать диаграммы, но группа гомологий бутылки Клейна – это Z₂ × Z₂, пары (m, n) целых чисел по модулю 2. Так что у бутылки тоже имеется отверстие, но это отверстие иного рода, чем отверстие в торе (ну, не совсем в нем).

Я рассказал вам о довольно сложной конструкции – группе гомологий – не без причины: мне хотелось дать вам представление о том, как топологи строят инварианты. Но единственное, что вам следует вынести отсюда, – это мысль о том, что у каждого пространства имеется группа гомологий, что это топологический инвариант и что с его помощью можно многое выяснить о форме пространства. В топологическом смысле.

* * *

Понятие группы гомологий восходит к новаторским исследованиям Энрико Бетти и Пуанкаре, проводившимся в конце XIX века. Их подход состоял в подсчете топологических особенностей, таких как отверстия, но в конце 1920-х годов он был переведен на язык теории групп стараниями Леопольда Вьеториса, Вальтера Майера и Эмми Нётер, а вскоре появились и широкие обобщения. То, что я называю просто группой гомологий, – это всего лишь первая из целого ряда таких групп, определяющих алгебраическую структуру отверстий размерности 1, 2, 3 и т. д. Существует также парное понятие когомологии и родственное понятие гомотопии, связанное скорее с тем, как кривые трансформируются и соединяются конец к концу, а не с тем, какое отношение они имеют к границам. Пуанкаре понимал, что эта конструкция дает группу, в которой, как правило, не выполняется перестановочный закон. Сегодня алгебраическая топология – это громадная узкоспециализированная область, где продолжают открывать новые топологические инварианты.

Существует также стремительно растущая область, известная как прикладная топология. Поскольку новое поколение математиков и физиков знакомо с топологией практически с детства, для них она оказывается куда менее странной и пугающей, чем была в свое время для старшего поколения. Они бегло говорят на языке топологии и видят новые возможности применения ее для решения практических задач. Бутылка Клейна в зрительной системе – пример с передовых позиций биологии. В материаловедении и радиоэлектронике можно найти такие понятия, как топологические изоляторы: это материалы, которые можно переводить из проводящего состояния в непроводящее, меняя топологию их электрических свойств. Топологические качества, сохраняющиеся при деформациях, очень стабильны.