Феномен техники

значительное число гиперболических распределений − распределения (или законы) Ципфа, Парето, Лотки, Уиллиса, Бредфорда и др. Их общая черта – резкая асимметричность (в отличие от «гауссовых»), а главная особенность – выраженность одной и той же по сути математической формулой, в которой

варьирует только показатель степени (формула может записываться в двух видах – частотном и ранговом).

Таким образом, невозрастающую последовательность р1, р2, …,

pk (∑ki = 1 pi = 1) частот употребления слов из словаря объема k

в некотором тексте (выборке) называют ранговым распределением для данного текста. При этом номер i слова в словаре, упорядоченном по невозрастанию частоты употребления, называют

рангом этого слова. Если Fi − количество употреблений слова

ранга i (i-гo слова), N − общее количество словоупотреблений в

тексте, то pi = Fi/N. Текст (разбиение) удовлетворяет закону Ципфа, если его ранговое распределение описывается зависимостью

pi = A/i; ∑ki = 1; pi = 1; i = 1,…, k. Величина А определяется как A =

p1 ≈ 1/ln(k). При равенстве pi = Fi/N отсюда следует N = Fi ln(k).

В распределении Ципфа величины pi и k жестко взаимосвязаны. Обычно задаются какой-нибудь одной из этих величин, а другую вычисляют. При этом распределение Ципфа будет зависеть от

того, какая величина, рi или k, определена по реальному тексту.

Выбрать эталонное распределение с учетом одновременно двух

наблюденных величин − pi и k позволяет формула Мандельброта,

включающая формулу для распределения Ципфа в качестве частного случая: Pi = A/(i+B), ∑ki = 1, pi = 1, i = 1,…, k. Коэффициенты A

и В здесь могут быть выражены через pi и k с помощью двух равенств: A/(1+B) = p1; ∑ki = 1 A/(i+B) ≈ Aln((k+B)/(1+B)) = 1.

Говоря о распределении Ципфа или Мандельброта, нередко

принимают во внимание условие, согласно которому наименее

205

употребительное слово встречается в тексте один раз (минимальный по объему класс содержит один элемент): Fk = l, pk =

1/N. При выполнении этого условия для текста, удовлетворяющего закону Ципфа, F1 = k и A = p1 = 1/ln(F1) = 1/ln(k), N = kln(k)

= F/ln(F1), а для текста, удовлетворяющего закону Мандельброта, A = 1/ln(F1), B = (k-1)/(F1-1)-1, N = (k-1)/(F1-1)F1ln(F1).

Реальные тексты и разбиения, однако, довольно редко

удовлетворяют закону Ципфа в точности. При этом хорошо согласуются с этим законом тексты и классификационные схемы,

отвечающие нашему представлению о целостности и системности, а случайные выборки описываются им значительно хуже22.

Например, закон Эсту – Ципфа – Мандельброта применим для

законченных форм произведений; и наоборот, он почти никогда

не описывает произвольные выборки (отрывки текста, части

произведений искусства). А вообще закон Ципфа является некой

идеальной моделью, реализующейся только при наличии ряда

идеальных условий. Отклонения от него происходят за счёт всегда существующих в реальном мире естественных отклонений

от модельных условий.

Гиперболические распределения хорошо известны в исследованиях систем различного класса. В любой совокупности существуют сравнительно немногочисленные компоненты, обладающие, так сказать, «высоким статусом» (частотой, распространённостью, доходом, стоимостью, потреблением электроэнергии и т. п.), и значительно больше компонентов с низким

статусом, причём по мере понижения статуса число разных

компонентов с этим статусом увеличивается. Для описания таких совокупностей используется гиперболическая зависимость.

Например, исследования канадских океанологов показали, что

для совокупности морских обитателей − «от бактерий планктона

до китов» − применима гипербола23. Применялась она и для таких разных распределений, как книг в библиотеках по числу запросов читателей; учёных по числу их публикаций; городов любой страны по числу жителей; населения по доходам и состоя22

Ю.А. Шрейдер, А.А. Шаров. Системы и модели. − М., 1982; Ю.К. Орлов.

Невидимая гармония // Число и мысль. Вып. 3. – М., 1980.− С. 70-106.

23

R.W. Sheldon, A. Prakash, W.H. Sulcliffe. Limnology and Oceanography, 1972,

v. 17, N 3, p. 327.

206

ниям; числа землетрясений по мощности очага и поверхностной

балльности; сортов трав по занимаемой площади; фирм по числу работников; частиц вулканического пепла по их массе; частиц мелких космических тел (от пылинок до крупных метеоритов), выпадающих на Землю. Вполне естественной выглядит

также попытка применить такого рода закономерность и для тех

или иных совокупностей технических объектов.

Само понятие ценоза взято из биологии (биоценоз), где оно

обозначает совокупность биологических организмов, сосуществующих в определенных рамках. В биологических системах

развитие вида, популяционные взаимодействия осуществляются, будучи детерминированными определенными закономерностями. Но взаимодействие видов (популяций), сосуществующих

на некотором, тем или иным образом ограниченном жизненном