Физика пространства - времени

Но от 𝑂 до 𝐵 можно пройти и по совершенно другому пути, например по прямой 𝑂𝐵 (рис. 19а). Этот новый путь, очевидно, обладает другой длиной, чем старый. Такое различие в длинах разных путей между 𝑂 и 𝐵 — настолько общеизвестный факт в эвклидовой геометрии, что не требует никаких комментариев и уж, конечно, не вызывает удивления. В эвклидовой геометрии путь по кривой между заданными двумя точками длиннее, чем прямолинейный путь между этими же двумя точками. Различие же длин для разных путей не приводит ни к каким противоречиям, и никто не станет заявлять, будто измерительная рулетка даёт неверный результат, если её протянуть в соответствии с кривизной пути.

Прямой путь обладает наименьшей длиной

Собственное время играет ту же роль для мировой линии в лоренцевой геометрии, какую играла длина для пути в эвклидовой геометрии. Пусть началом мировой линии служит событие 𝑂 а концом — событие 𝐵. Существует бесконечное множество разных мировых линий, соединяющих события 𝑂 и 𝐵. Соответствующий каждой из них промежуток собственного времени определён вполне однозначно, но различен для разных мировых линий. Удивительно ли это? Если да, то следует подробнее рассмотреть определение собственного времени и методику его измерения.

Протяжённость мировой линии измеряется собственным временем

Рассмотрим частицу, движущуюся от 𝑂 к 𝐵 по искривлённой мировой линии (рис. 19б) ¹). В этом случае частица движется реально вдоль оси 𝑥 с переменной скоростью. Пусть эта частица посылает световой сигнал через каждый метр времени по часам, движущимся вместе с частицей. Собственное время Δτ, прошедшее между каждыми двумя последовательными вспышками (например, обозначенными на рисунке через 3 и 4), можно вычислить, исходя из разностей координат Δ𝑥 и Δ𝑡 этих событий, измеренных в некоторой инерциальной системе отсчёта. Ввиду инвариантности этого интервала промежуток собственного времени между двумя данными событиями будет одним и тем же, в какой бы инерциальной системе отсчёта мы его ни вычисляли, хотя сами разности пространственных и временных координат Δ𝑥 и Δ𝑡 будут различны в разных системах отсчёта. Интервалы между всеми другими парами последовательных событий-вспышек на этой мировой линии не будут зависеть от выбранной для вычисления величины интервала системы отсчёта. Значит, это заключение справедливо и в отношении суммы интервалов собственного времени между всеми событиями-вспышками на данной мировой линии! Итак, разные наблюдатели в различных инерциальных системах отсчёта найдут, что промежуток собственного времени между определённым начальным событием 𝑂 и определённым конечным событием 𝐵 вдоль данной мировой линии для всех них одинаков.

¹) Конечно, движения вдоль мировой линии реально не происходит, как это и подчеркивается в следующей фразе. Авторы очень удачно охарактеризовали ранее мировые линии на диаграммах Минковского как изображение функциональной зависимости пространственной координаты 𝑥 материального объекта от времени. Поэтому читатель, встречая употребляемое для краткости выражение «движение по мировой линии», должен сопротивляться искушению понимать его буквально.— Прим. перев.

Прямая мировая линия соответствует наибольшему промежутку собственного времени

Но от события 𝑂 до события 𝐵 можно «пройти» и по совершенно другой мировой линии, например по прямой 𝑂𝐵 (рис. 19б). Этой новой мировой линии, очевидно, соответствует другой промежуток собственного времени, чем старой мировой линии. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия между двумя заданными событиями короче, чем прямая мировая линия между теми же двумя событиями,— короче в смысле соответствующего ей промежутка собственного времени (рис. 20). Расстояние между двумя соседними точками по кривому пути всегда равно или больше разности координат 𝑦 этих точек. Напротив, промежуток собственного времени между двумя соседними событиями по кривой мировой линии всегда равен или меньше соответствующего времени по прямой мировой линии. Фундаментальным способом сравнения различных мировых линий между двумя событиями является определение собственного времени.

а) В эвклидовой геометрии.

б) В лоренцевой геометрии.

Рис. 20. Противоположность между геометриями Эвклида и Лоренца. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия соответствует движению за меньшее собственное время.