Физика пространства - времени

Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение

cos²θ

_𝑟

+

sin²θ

_𝑟

=

1

играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).

Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал

Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении

ch²θ

_𝑟

-

sh²θ

_𝑟

=

1.

Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:

⎛

⎜

⎜

⎝

Интервал

собственной

длины

⎞²

⎟

⎟

⎠

=-

⎛

⎜

⎜

⎝

Интервал

собственного

времени

⎞²

⎟

⎟

⎠

=

=

⎛

⎜

⎝

Удалённость

в пространстве

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

Удалённость

во времени

⎞²

⎟

⎠

=

=

(

Δ

𝑥)²

-

(

Δ

𝑡)²

=

=

(

Δ

𝑥'

ch θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

sh θ

_𝑟

)²

-

(

Δ

𝑥'

sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

cos θ

_𝑟

)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

ch²θ

_𝑟

+

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')ch θ

_𝑟

sh θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑡')²

sh²θ

_𝑟

-

-[

(

Δ

𝑥')²

sh²θ

_𝑟

-

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')sh θ

_𝑟

ch θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑡')²

ch²θ

_𝑟

]=

=

[(

Δ

𝑥')²

-

(

Δ

𝑡')²]

⋅

(ch²θ

_𝑟

-

sh²θ

_𝑟

)

=

=

(

Δ

𝑥')²

-

(

Δ

𝑡')²

.

Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца оставляет неизменным выражение для интервала.

Обратное преобразование Лоренца

Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (𝑥', 𝑡') на язык лабораторной системы координат (𝑥, 𝑡). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от 𝑥 и 𝑡 к 𝑥' и 𝑡'? Если первый словарь соответствовал формулам

𝑥

=

𝑥'ch θ

_𝑟

+

𝑡'sh θ

_𝑟

,

𝑡

=

𝑥'sh θ

_𝑟

+

𝑡'ch θ

_𝑟

,

(36)

то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами

𝑥'

=

𝑥ch θ

_𝑟

-

𝑡sh θ

_𝑟

,

𝑡'

=-

𝑥sh θ

_𝑟

-

𝑡ch θ

_𝑟

.

(37)

Доказательство. Подставьте последние выражения для 𝑥' и 𝑡' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).

В табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через 𝑒 обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через 𝑖 обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что 𝑖²=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих 𝑖. Угол θ берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4×3×2×1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6 на обеих сторонах таблицы и качественно покажите, как из них вытекают графики на рис. 32 и 33. Особо отметьте различия в знаках в левой и правой сторонах таблицы.

Таблица 8.

Тригонометрические и гиперболические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Тригонометрические функции

Гиперболические функции

1.

sin θ

=

𝑒^𝑖θ-𝑒^-𝑖θ

2𝑖

1.

sh θ

=

𝑒^θ-𝑒^-θ

2

2.

cos θ

=

𝑒^𝑖θ+𝑒^-𝑖θ

2𝑖

2.

ch θ

=

𝑒^θ+𝑒^-θ

2

3.

tg θ

=

sin θ

cos θ

3.

th θ

=

sh θ

ch θ

4.

sin θ

=

θ

-

θ³

3!

+

θ⁵

5!

-

θ⁷

7!

+…

4.

sh θ

=

θ

+

θ³

3!

+

θ⁵

5!

+

θ⁷

7!

+…

5.

cos θ

=

1

-

θ²

2!

+

θ⁴

4!

-

θ⁶

6!

+…

5.

ch θ

=

1

+

θ²

2!

+

θ⁴

4!

+

θ⁶

6!

+…

6.

tg θ

=

θ

+

θ³

3

+

2

15

θ⁵+…

6.

th θ

=

θ

-

θ³

3

+

2

15

θ⁵-…

СООТНОШЕНИЯ

7.

sin(-θ)

=-

sin(θ)

7.

sh(-θ)

=-

sh(θ)

8.

cos(-θ)

=

cos(θ)

8.

ch(-θ)

=

ch(θ)

9.

tg(-θ)

=-

tg(θ)

9.

th(-θ)

=-

th(θ)

10.

cos²θ

+

sin²θ

=1

10.

ch²θ

+

sh²θ

=1

11.

sin(θ₁+θ₂)

=

sin θ₁

cos θ₂

+

+

cos θ₁

sin θ₂

11.

sh(θ₁+θ₂)

=

sh θ₁

ch θ₂

+

+

ch θ₁

sh θ₂

12.

cos(θ₁+θ₂)

=

cos θ₁

cos θ₂

-

-

sin θ₁

sin θ₂

12.

ch(θ₁+θ₂)

=

ch θ₁

ch θ₂

-

-

sh θ₁

sh θ₂

13.

tg(θ₁+θ₂)

=

tg θ₁+tg θ₂

1-tg θ₁tg θ₂

13.

th(θ₁+θ₂)

=

th θ₁+th θ₂

1-th θ₁th θ₂

СПОСОБЫ БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ СМЕРТНЫХ

При малых

θ

При малых

θ

sin θ≈θ

sh θ≈θ

tg θ≈θ

th θ≈θ

Пример

:

θ=0,1

Пример

:

θ=0,1

Быстрая оценка:

Быстрая оценка:

sin θ≈0,1

sh θ≈0,1

tg θ≈0,1

th θ≈0,1

Точные значения:

Точные значения:

sin θ=0,0998

sh θ=0,1002

tg θ=0,1003

th θ=0,0997

При больших

θ

sh θ≈𝑒

^θ

/2

ch θ≈𝑒

^θ

/2

Пример

:

θ=3, 𝑒

^θ

≈20.

Быстрая оценка:

sh θ≈10

th θ≈10

Точные значения:

sh θ=10,018

th θ=10,068

Упражнения к главе 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ