Физика пространства - времени

Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th θ_𝑟 для любого заданного значения θ_𝑟 (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th θ_𝑟 позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции θ_𝑟 настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

ch θ

_𝑟

=

=

(Косинус гиперболический

θ

_𝑟

),

th θ

_𝑟

•

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

sh θ

_𝑟

=

=

(Синус гиперболический

θ

_𝑟

),

Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥'

•

ch θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

•

sh θ

_𝑟

,

Δ

𝑡

=

Δ

𝑥'

•

sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

•

ch θ

_𝑟

.

(32)

Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости

Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения θ_𝑟 систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.

Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение

sh θ_𝑟

cs θ_𝑟

=

th θ

_𝑟

(33)

совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна

ch²θ

_𝑟

-

sh²θ

_𝑟

=

1

1-th²θ_𝑟

-

th²θ_𝑟

1-th²θ_𝑟

=

=

1-th²θ_𝑟

1-th²θ_𝑟

=

1.

(34)

Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:

cos²(угол)

+

sin²(угол)

=

1.

(35)

Сравнение тригонометрических и гиперболических функций¹)

¹ Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.

Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos²α+sin²α=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его 𝑥- и 𝑦- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch²α-sh²α=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.

Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)²+(4/5)²=1

Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)²-(4/3)²=1

Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину

Разные знаки в соотношениях cos²α+sin²α=1 и ch²θ-sh²θ=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:

(Длина)

²

=

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

=

(

Δ

𝑥'

cos θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

sin θ

_𝑟

)²

+

(-

Δ

𝑥'

sin θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

cos θ

_𝑟

)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

cos²θ

_𝑟

+

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')cos θ

_𝑟

sin θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑦')²

sin²θ

_𝑟

+

+

(

Δ

𝑥')²

sin²θ

_𝑟

-

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')sin θ

_𝑟

cos θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑦')²

cos²θ

_𝑟

=

=

[(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²]

⋅

(sin²θ

_𝑟

+

cos²θ

_𝑟

)

=

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

(подчёркнутые члены сокращаются).