Физика пространства - времени

Построение таблицы для тангенса гиперболического

Ответ. 1) Начнём со столь малого параметра скорости θ, что его th θ может быть приравнен θ с требуемой степенью точности. Примем, например,

th 0,01

=

0,01

в качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического.

2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27):

th 0,02

=

th (0,01+0,01)

=

=

th 0,01+th 0,01

1+th 0,01⋅th 0,01

=

0,01+0,01

1+0,0001

.

(28)

3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения. Почему бы, например, не принять th 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли th 0,01 равным th 0,01? Однако в знаменателе формулы (28) стоит слагаемое 0,0001! Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины th 0,02 приблизительно на 1:10⁴. Условимся же теперь вычислять все значения th θ с точностью до 1:10⁴. Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в знаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении th 0,02, почему бы не учесть её и в th 0,01? Потому что там она была бы ещё меньше. Иными словами, разница между th 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1:10⁴. С этой точностью мы получим в конце концов

th 0,02

=

0,020000

1,0001

=

0,019998

.

4) Найдём теперь значение th 0,04:

th 0,04

=

th (0,02+0,02)

=

=

th 0,02+th 0,02

1+th 0,02⋅th 0,02

=

2•0,019998

1+(0,019998)²

=

=

0,039980

.

Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно на 4:10⁴. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1:10⁴. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1:10⁴.

5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тангенса аналогичны предыдущим. Так, зная th 0,04 и th 0,01, мы можем вычислить th 0,05=(th 0,04+0,01). Мы получим далее th 0,1; th 0,2 и th 0,4, а затем th 0,5=(th 0,4+0,1). Аналогично мы вычислим th 1, th 2 и все прочие значения th θ, которые нам потребуются. Так мы получим результаты, подытоженные на рис. 31.

Рис. 31. Связь между параметром скорости θ и самой скоростью β=th θ, получаемая непосредственно из закона сложения th(θ₁+θ₂) =

θ₁+θ₂

1+θ₁•θ₂

как это описано в тексте. Например, пусть пуля выпускается со скоростью β'=0,75 из ракеты, движущейся со скоростью β_𝑟=0,75. Требуется найти скорость пули β относительно лабораторной системы. Мы знаем, что аддитивны не скорости, а параметры скорости. По графику для точки 𝐴 находим θ'=θ_𝑟=0,973. Сложение даёт θ=θ'+θ_𝑟=1,946. Для этого значения параметра скорости находим по графику точку 𝐵 и величину скорости β=0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 68).

Различие между параметром скорости и обычным углом

Из рис. 31 сразу же видны два свойства параметра скорости, никак не связанные с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции th θ относительно θ стремится к единице при малых θ. Это — новое выражение того факта, что скорость β=th θ и параметр скорости θ стремятся друг к другу при стремлении θ→0. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость β=th θ стремится к плюс (или минус) единице. Другими словами, допустимы любые значения параметра скорости на всём интервале значений от θ→-∞ и до θ→+∞. Различие между «гиперболическими углами» или параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами очевидно. Обычный угол не приводит ни к чему новому, когда он превысит конечный интервал от 0 до 2π радиан.

Параметр скорости и постоянство скорости света

Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привёл физику к пространственно-временной точке зрения? Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что уже в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это же можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной всё той же скорости света.