Физика пространства - времени

который в частном случае вектора 𝑂𝐴 записывается в виде 7 =

4

5 •2 +

3

5 •9 ,  6 =-

3

5 •2 +

4

5 •9 ,

Приведённые здесь конкретные численные значения коэффициентов в законе преобразования связаны с тем конкретным поворотом, который изображён на чертеже.

В притче о землемерах студент сделал, как теперь обнаруживается, лишь полдела. Он выяснил, как должен каждый землемер переводить свои результаты на универсальный язык расстояний:

(Расстояние)

²

=

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

.

Однако он не сформулировал того словаря, который необходим для перевода с дневного на ночной язык и обратно величин компонент. Конечно, выводы студента были ценными, но ведь случается же, когда дневной землемер должен знать не только величину расстояния 𝑂𝐴, но и конкретные координаты (Δ𝑥,Δ𝑦) этого отрезка. При этом может оказаться, что по воле судеб ему недоступно прямое измерение этих компонент. Тогда в его распоряжении будут лишь данные о компонентах (Δ𝑥',Δ𝑦'), полученные при измерении 𝑂𝐴 его коллегой — ночным землемером. Как же ему перевести имеющиеся в его распоряжении числа (Δ𝑥',Δ𝑦') на его «язык» и получить требуемые (Δ𝑥,Δ𝑦)? Каким должен быть словарь? И что должен он знать, чтобы быть в состоянии этот словарь составить? Вот ответ.

Эвклидово преобразование поворота координатных осей

Подобно тому, как для построения формул преобразования Лоренца, переводящих (Δ𝑥',Δ𝑦') в (Δ𝑥,Δ𝑦), необходимо знать относительную скорость движения двух систем отсчёта β_𝑟, для перевода компонент (Δ𝑥',Δ𝑦') в (Δ𝑥,Δ𝑦) требуется знать величину наклона 𝑆_𝑟 прямой 𝑂𝑦' относительно прямой 𝑂𝑦. В примере, изображённом на рис. 26, наклон оси 𝑂𝑦' к оси 𝑂𝑦 равен 𝑆_𝑟=³/₄. Это значит, что при перемещении вверх по оси 𝑦 на 4 единицы необходимо сдвинуться от неё вправо на 3 единицы, чтобы оказаться на оси 𝑦'. Если выразить через величину наклона 𝑆_𝑟 формулу преобразования поворота, мы получим

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

+

𝑆_𝑟Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

,

Δ

𝑦

=-

𝑆_𝑟Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

+

Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

.

(19)

Доказательство.

Рис. 27. Представление произвольного вектора как геометрической суммы двух векторов, направленных соответственно вдоль осей 𝑦' и 𝑥'. Это представление использовано при выводе уравнений (19) закона преобразования поворота (см. текст).

1. Произвольный вектор (Δ𝑥',Δ𝑦') может рассматриваться (см. рис. 27) как сумма вектора (Δ𝑥',0), направленного вдоль оси 𝑥', и вектора (0,Δ𝑦'), направленного вдоль оси 𝑦'. Для общего доказательства справедливости формул (19) достаточно удостовериться в том, что они верны по отдельности для этих двух векторов.

2. Вектор, направленный вдоль оси 𝑦' и имеющий длину Δ𝑦' обладает относительно осей 𝑥 и 𝑦 компонентами, относящимися друг к другу как 𝑆_𝑟 по определению «наклона». Итак,

Δ𝑥

Δ𝑦

=

𝑆

_𝑟

,

или

⎛

⎜

⎝

Δ𝑥

Δ𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

𝑆

_𝑟

²

,

или

(

Δ

𝑥)²

=

𝑆

_𝑟

²

⋅

(

Δ

𝑦)²

.

3. Расстояние от начала координат до конца вектора имеет одну и ту же величину в обеих системах координат:

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

,

или

𝑆

_𝑟

²

(

Δ

𝑦)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

0

+

(

Δ

𝑦')²

,

или

(

Δ

𝑦)²

=

(Δ𝑦')²

1+𝑆_𝑟²

,

или, наконец,

Δ

𝑦

=

Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

,

так что

Δ

𝑥

=

𝑆

_𝑟

Δ

𝑦

=

𝑆_𝑟Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

.

Сравнивая эти результаты с формулами преобразования поворота (19), мы убеждаемся в правильности коэффициентов при Δ𝑦'.

4. Аналогично рассмотрим вектор, направленный вдоль оси 𝑥' и имеющий компоненты (Δ𝑥',0). Его компоненты вдоль осей 𝑦 и 𝑥 находятся друг к другу в отношении

Δ𝑦

Δ𝑥

=-

𝑆

_𝑟

.

Это равенство вместе с фактом инвариантности длины

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

(

Δ

𝑥')²

+

0

приводит в ходе рассуждений, аналогичных предыдущим, к соотношениям

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

,

Δ

𝑦

=-

𝑆_𝑟Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

.

Тем самым мы проверили остальные два коэффициента в формулах (19) эвклидова преобразования поворота.

Относительный наклон осей 𝑆_𝑟 в геометрии Эвклида аналогичен относительной скорости β_𝑟 в геометрии Лоренца

Подводя итоги, можно сказать, что ковариантное преобразование в геометрии Эвклида от (Δ𝑥',Δ𝑦') к (Δ𝑥,Δ𝑦) с очевидностью аналогично преобразованию от (Δ𝑥',Δ𝑡') к (Δ𝑥,Δ𝑡) в лоренцевой геометрии реального физического мира. Величина наклона 𝑆_𝑟 осей одной системы координат относительно соответствующих осей другой системы аналогична скорости β_𝑟 одной инерциальной системы отсчёта относительно другой. Отношения катетов прямоугольного треугольника к его гипотенузе в эвклидовой геометрии

1

√1+𝑆_𝑟²

и

𝑆_𝑟

√1+𝑆_𝑟²

заменяются в лоренцевой геометрии выражениями

1

√1-β_𝑟²

и

β_𝑟

√1-β_𝑟²

.

Противоположны лишь знаки при 𝑆_𝑟 и β_𝑟 в знаменателях этих выражений. Знак «минус» в лоренцевой геометрии связан с минусом в выражении для квадрата интервала.

9. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ

Аддитивность углов подсказывает возможность определения аддитивного параметра скорости