Физика пространства - времени

Всё ли исчерпано? Мы выяснили, как перейти от компонент взаимной удалённости событий, известных в одной системе отсчёта, к аналогичным компонентам в другой системе отсчёта. Короче, мы записали ковариантный закон, связывающий компоненты в разных системах, как для преобразования Лоренца («преобразование в плоскости 𝑥, 𝑡), так и для поворота («преобразование в плоскости 𝑥, 𝑡). В первом случае формулы содержат параметр β_𝑟 (относительную скорость систем), а во втором — параметр 𝑆_𝑟 (относительный наклон осей). Однако ни один из этих параметров не позволяет ещё получить самое простое описание взаимоотношения рассматриваемых систем координат. Было бы желательно заменить как β_𝑟, так и 𝑆_𝑟 более естественными параметрами. Оказывается, найти такой более удобный способ описания движения и поворота систем можно. Лучшей характеристикой поворота является угол. Аналогично самой удобной характеристикой движения систем вместо скорости является некоторый параметр скорости θ, который ещё должен быть найден. Лучше всего можно понять смысл и значение этого параметра скорости при описании относительного движения систем отсчёта, если сначала выяснить, почему угол — более удобный параметр, чем наклон при описании поворота.

Ответ таков: потому что углы аддитивны, а наклоны — нет. Что означает это утверждение? Взглянем на рис. 26. Вектор 𝑂𝐴 имеет наклон относительно оси 𝑦'. Этот наклон можно описать величиной 𝑆' (отношением числа единиц длины в направлении оси 𝑥, приходящегося на единицу расстояния в направлении оси 𝑦'). В данном случае мы имеем

𝑆'

=

2

9

.

Вместе с тем вектор 𝑂𝐴 имеет наклон к оси 𝑦, равный

𝑆

=

7

6

,

а ось 𝑦' в свою очередь обладает относительно оси 𝑦 наклоном

𝑆

_𝑟

=

3

4

.

Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦'

⎞

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑦'

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

?

Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны

Проверка («экспериментальная математика»):

7

6

=

2

9

+

3

4

?

42

36

=

8

36

+

27

36

?

42

=

8

+

27

=

35

?!

Неверно!

Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. 𝑆 не равняется сумме 𝑆' и 𝑆_𝑟, то как же найти правильно наклон 𝑆 из наклонов 𝑆' и 𝑆_𝑟? Ответ:

(по определению наклона)

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

=

𝑆

=

Δ𝑥

Δ𝑦

=

[из (19)]

=

(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+𝑆_𝑟⋅(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑦'

-𝑆_𝑟(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑦'

=

[сокращение числителя и

знаменателя на

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

]

=

Δ𝑥'+𝑆_𝑟Δ𝑦'

-𝑆_𝑟Δ𝑥'+Δ𝑦'

=

(деление числителя и знаменателя на

Δ

𝑦'

)

=

(Δ𝑥'/Δ𝑦')+𝑆_𝑟

-𝑆_𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑦')+1

.

Окончательный вывод:

𝑆

=

𝑆'+𝑆_𝑟

1-𝑆'𝑆_𝑟

.

(20)

Иными словами, наклоны 𝑆' и 𝑆_𝑟 могут считаться аддитивными, лишь если произведением 𝑆'•𝑆_𝑟 стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.

Аддитивны углы наклона

Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси 𝑦' относительно оси 𝑦. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: θ=θ'+θ_𝑟.

Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями 𝑦 и 𝑦'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):

⎛

⎜

⎝

Угол между

𝑂𝐴 и осью 𝑦

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

Угол между

𝑂𝐴 и осью 𝑦'

⎞

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

Угол между

осями 𝑦' и 𝑦

⎞

⎟

⎠

,

или

θ

=

θ'

+

θ

_𝑟

.

(21)

Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.

Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол θ и наклон 𝑆_𝑟 оси 𝑦' относительно оси 𝑦? Ответ:

𝑆

_𝑟

=

tg θ

_𝑟

(22)

(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).

Рис. 29. Связь между взаимным наклоном 𝑆_𝑟 осей 𝑦' и 𝑦 двух эвклидовых систем координат и углом θ_𝑟 между этими осями.

Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии

Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:

tg θ

=

tg (θ'+θ

_𝑟

)

=

⎛

⎜

⎝

аддитивность

углов

⎞

⎟

⎠

=

tg θ'+tg θ_𝑟

1-tg θ'•tg θ_𝑟

,

(тригонометрия)

(23)

или

𝑆

=

𝑆'+𝑆_𝑟

1-𝑆'•𝑆_𝑟

•

⎛

⎜

⎝

тангенсы заменены

на величины наклонов

⎞

⎟

⎠

Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (θ=θ'+θ_𝑟), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота.

Закон сложения скоростей

Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью β'=Δ𝑥'/Δ𝑡' в системе отсчёта ракеты.

Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью β' в этой системе (рис. 30):

β'

=

Число метров,

пройденных в

направлении оси 𝑥'

за каждый

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Метр времени 𝑡',

прошедший

по часам

на ракете

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

Δ𝑥'

Δ𝑡'

.