Физика в примерах и задачах

=

U

R

,

I

=

U

L

,

I

=

U

C

.

На активном сопротивлении напряжение совпадает по фазе с током, на индуктивности напряжение опережает ток по фазе на /2 на ёмкости - отстаёт от тока на /2.

В последовательной цепи переменного тока, содержащей сопротивление R, ёмкость C и индуктивность L, между приложенным напряжением и током существует сдвиг по фазе. Если приложенное напряжение даётся выражением U=Ucos t, то ток в цепи равен I=Icos(t-), где амплитудное значение тока I и сдвиг по фазе определяются формулами

I

=

U

R^2+(L-1/C)^2

,

tg

=

L-1/C

R

.

1. Провода и клеммы.

Имеются n клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми проводниками сопротивлением R. Найти сопротивление между любыми двумя клеммами.

Прежде всего из симметрии схемы ясно, что сопротивление одинаково между любой парой клемм.

Рассмотрим вспомогательную схему (рис. 1.1). Две клеммы A и B соединены друг с другом проводником сопротивлением R, а остальные n-2 клеммы соединены с клеммами A и B такими же проводниками сопротивлением R, но не соединены друг с другом.

Рис. 1.1. Эквивалентная схема для расчёта сопротивления между любой парой клемм

В этой схеме между клеммами A и B параллельно включены сопротивление R и n-2 сопротивлений по 2R. Поэтому полное сопротивление R_AB между клеммами A и B вычисляется по формуле

1

R_AB

=

1

R

+

n-2

2R

,

откуда

R

_AB

=

2R

n

.

Из симметрии схемы, изображённой на рисунке, видно, что если между клеммами A и B создать некоторую разность потенциалов, то потенциалы остальных n-2 клемм будут равны между собой.

Соединим теперь проводниками сопротивлением R каждую из n-2 клемм со всеми остальными. В этих проводниках тока не будет, и, следовательно, сопротивление R_AB между клеммами A и B при этом не изменится. Но получившаяся в результате такого соединения схема совпадает с той, о которой говорится в условии задачи, так как в этой схеме каждая клемма соединена со всеми остальными проводниками сопротивлением R.

Итак, искомое сопротивление между любыми двумя клеммами равно 2R/n. Обратим внимание, насколько простым оказывается решение этой задачи при использовании соображений симметрии. Конечно, угадать вид ответа нетрудно, если рассмотреть последовательно простые легко рассчитываемые частные случаи для n, равных 2, 3 и 4. Но доказать, что угаданная формула, R_AB=2R/n, справедлива при любом числе клемм n, не так-то легко. В то же самое время, уловив совсем не очевидную на первый взгляд симметрию этой схемы, мы видим, что расчёт общего случая оказывается не сложнее, чем при трёх соединённых клеммах.

2. Измерение сопротивления в схеме

На рис. 2.1 показана часть схемы, состоящей из неизвестных сопротивлений. Как, имея омметр и соединительные провода, можно измерить сопротивление R_x не разрывая ни одного контакта схемы?

Рис. 2.1. Участок разветвлённой цепи, содержащей искомое сопротивление R_x

По условию задачи нельзя разрывать никаких соединений в этой цепи, но можно соединять проводами любые точки, т.е. закорачивать некоторые участки. Используя провода, исходную схему всегда можно привести к виду, показанному на рис. 2.2.

Рис. 2.2. К такому виду можно привести схему, показанную на рис. 2.1, с помощью дополнительных проводов

Схема, изображённая на рис. 2.1, приводится к такому виду, если соединить накоротко точки A, B к C. Тогда роль R на рис. 2.2 будут играть параллельно соединённые сопротивления 1, 2 и 3 (рис. 2.1), а роль R играет сопротивление всей остальной разветвлённой цепи между точками C и D. Нетрудно сообразить, что в общем случае схему, изображённую на рис. 2.2, из произвольной, содержащей R_x, можно получить, соединяя накоротко между собой концы всех резисторов, подключённых к искомому с одной стороны. (Если в схеме есть сопротивления, параллельные R_x, то определить R_x, не производя разъединений, невозможно: можно лишь определить общее сопротивление всех резисторов, включённых параллельно R_x)

Теперь нахождение R_x не представляет никакого труда. Произведём следующие три измерения.

1. Закорачиваем точки E и D и включаем омметр между точками A и D. Эквивалентная схема приведена на рис. 2.3а. Показание омметра r связано с R и R соотношением

1

R

+

1

R

=

1

r

.

(1)

2. Закорачиваем точки A и E на рис. 2.2. Омметр, как и раньше, включён между точками A и D. Эквивалентная схема изображена на рис. 2.3б. Показание омметра связано с R_x и R соотношением

1

R_x

+

1

R

=

1

r

.

(2)

Рис. 2.3. Для определения трёх неизвестных сопротивлений в схеме на рис. 2.2 удобно произвести измерения, предварительно закоротив точки E и D (а), A и E (б), A и D (в)

3. Закорачиваем точки A и D. Омметр включаем между точками E и D (рис. 2.3в). Показание омметра г₃ в этом случае подчиняется соотношению

1

R_x

+

1

R

=

1

r

.

(3)

Складывая почленно уравнения (2) и (3) и вычитая уравнение (1), получаем

2

R_x

=

1

r

+

1

r

-

1

r

.

3. Сопротивление цепочки.

Найти сопротивление цепочки, состоящей из N звеньев (рис. 3.1). Сопротивление каждого резистора равно R.