Физика в примерах и задачах

Рис. 3.1. Штриховыми линиями показаны отдельные одинаковые звенья цепочки

Используемые в решении обозначения показаны на рис. 3.2. Применяя несколько раз закон Ома для участка цепи, нетрудно получить соотношения

U

_n

=

2I

_n

R

+

U

_n-1

,

(1)

U

_n-1

=

2I

_n-1

R

+

U

_n-2

,

(2)

U

_n-1

=

(I

_n

-I

_n-1

)R

.

(3)

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2) и используя соотношение (3), получаем

U

_n

-

4U

_n-1

+

U

_n-2

=

0.

(4)

Далее, приравнивая напряжение U_n-1 на участке ad сумме напряжений на участках ab, bc и cd, имеем

(I

_n

-I

_n-1

)R

=

I

_n-1

R

+

(I

_n-1

-I

_n-2

)R

+

I

_n-1

R

,

откуда

I

_n

-

4I

_n-1

+

I

_n-2

=

0.

(5)

Искомое сопротивление R_N определяется соотношением R_N=U_N/I_N.

Рис. 3.2. Обозначения токов и напряжений в отдельных участках цепочки из N звеньев

Полученные формулы (4) и (5) носят название рекуррентных соотношений, ибо они дают возможность найти ток и напряжение для n-го звена цепочки, если известны эти величины для двух предыдущих звеньев. Примем ток I в первом звене цепочки за единицу: I=1. Тогда U=3R. Теперь для второго звена с помощью схемы на рис. 3.2 нетрудно найти I=4, U=11R. Далее токи и напряжения во всех последующих звеньях можно находить, последовательно применяя рекуррентные соотношения (4) и (5). Нельзя ли найти общую формулу, которая дала бы возможность сразу написать выражение для напряжения U_n и тока I_n в n-м звене? Оказывается, можно. Для этого нужно найти функцию целого аргумента n, которая удовлетворяла бы уравнению (4) или (5).

Попробуем искать решение уравнения (4) в виде U_n=xⁿ. Подставляя эту функцию в (4), получаем квадратное уравнение для x: x^2-4x+1=0. Корни его x_1,2=2±3. Так как уравнение (4) линейное, ему удовлетворяет любая функция вида

U

_n

=

Ax

ⁿ

+

Ax

ⁿ

=

A(2+

3

)

ⁿ

+

A(2-

3

)

ⁿ

,

(6)

где A и A - произвольные постоянные. Решение (6) уравнения (4) содержит две постоянные, поскольку это уравнение как рекуррентное соотношение определяет значение U_n по двум предшествующим значениям U_n-1 и U_n-2.

Поскольку уравнение (5) имеет точно такой же вид, как и (4), его решение совершенно аналогично (6):

I

_n

=

B(2+

3

)

ⁿ

+

B(2-

3

)

ⁿ

.

(7)

Каким образом можно найти значения постоянных A и B в выражениях (6) и (7)? Очевидно, что выражения (6) и (7) должны давать правильные значения для уже известных напряжений и токов в первом и во втором звеньях. Для первого звена (n=1) U=3R, I=1, поэтому

A(2+

3

)

+

A(2-

3

)

=

3R,

B(2+

3

)

+

B(2-

3

)

=

1.

(8)

Совершенно аналогично для второго звена (n=2) U=11R, I=4, имеем

A(2+

3

)^2

+

A(2-

3

)^2

=

11R,

B(2+

3

)^2

+

B(2-

3

)^2

=

4.

(9)

Из выражений (8) и (9) определяются значения постоянных A, A, B, B:

A

=

R

3+1

23

,

A

=

R

3-1

23

;

B

=

1

23

,

B

=-

1

23

.

(10)

Вместо того чтобы использовать уравнения (9), можно ввести формально «нулевое» звено и с помощью рекуррентных соотношений (4) и (5) найти U=R, I=0.

Если взглянуть на схему, изображённую на рис. 3.2, можно убедиться, что эти величины имеют физический смысл: U, и I, суть напряжение и ток для несуществующего «нулевого» звена. Тогда для упрощения алгебры при нахождении постоянных A и B вместо (9) можно использовать соответствующие соотношения для нулевого звена:

A

+

A

=

R,

B

+

B

=

0.

Итак, для сопротивления цепочки из N звеньев, учитывая формулы (10), получаем

R

_N

=

U_N

I_N

=

R

(3+1)(2+3)^N+(3-1)(2-3)^N

(2+3)-(2-3)

.

(11)

С помощью этой формулы нетрудно найти сопротивление цепочки с бесконечным числом звеньев. Для этого нужно совершить предельный переход N->. Проще всего это сделать, разделив почленно числитель и знаменатель на (2+3)^N Вторые слагаемые в числителе и знаменателе после этого будут содержать множитель

2-3

2+3

N

,

который стремится к нулю при N->. В результате для сопротивления R бесконечной цепочки получаем

R

=

R

(

3

+1)

.

(12)

Рис. 3.3. Эквивалентная схема для цепочки с бесконечным числом одинаковых звеньев

Сопротивление бесконечной цепочки можно рассчитать и независимо, причём это сделать проще, чем найти сопротивление цепочки с конечным числом звеньев. Идея такого решения заключается в том, что добавление ещё одного звена к началу бесконечной цепочки не может изменить её сопротивление. Но в этом случае мы сразу получаем эквивалентную схему, изображённую на рис. 3.3, причём сопротивление между точками A и B также равно R С другой стороны, сопротивление между этими точками легко выразить через значения сопротивлений, входящих в цепь, изображённую на рис. 3.3. В результате получаем

R

=

R

+

RR

R+R

.

(13)

Решая это квадратное относительно искомого сопротивления R уравнение, вновь находим значение, даваемое формулой (12). Второй корень уравнения (13) отрицателен и не имеет физического смысла.

Рис. 3.4. Какое сопротивление R_x следует подсоединить к концу цепочки, чтобы её сопротивление не зависело от числа звеньев?